Reduzierte Basis Methoden zur Modellreduktion für nichtlineare parametrisierte Evolutionsgleichungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Viele Prozesse in der Natur können mit partiellen Differentialgleichungen beschrieben werden. Die numerischen Berechnungen, die nötig sind, um einen Lösungen solcher partieller Differentialgleichungen zu bestimmen, sind üblicherweise sehr zeitaufwändig. Speziell für Parameterstudien oder zeitkritische Anwendungen, bei denen Simulationsergebnisse in einer bestimmten Zeit berechnet werden müssen, sind Modellreduktionsmethoden daher unerlässlich. In diesem Projekt wurde daher eine Modellreduktionsmethode zur effizienten Behandlung von parametrisierten Evolutionsproblemen mit komplexen Nicht-Linearitäten entwickelt. Hierzu wurde ein vorhandenes Verfahren, die sogenannte Reduzierte Basis Methode erweitert. Bei diesem Verfahren geht es darum, einen Funktionenraum, den sogenannten Reduzierte Basis Raum zu konstruieren, in welchem die parametrisierten Lösungen möglichst gut approximiert werden. Die Hauptbestandteile unseres neu entwickelten Verfahrens umfassen hierbei (i) die Entwicklung und Analysis der Empirischen Operator Interpolation, einer Methode zur Interpolation von diskreten Operatorauswertungen mit dem Ziel den Operator nur lokalisiert auswerten zu müssen, (ii) die Entwicklung eines allgemeinen a posteriori Fehlerschätzers und (iii) die Entwicklung neuer Algorithmen zur intelligenten und effizienten Konstruktion des Reduzierte Basis Raums. Mit Hilfe der Empirischen Operator Interpolation können theoretisch beliebig komplexe Evolutionsprobleme behandelt werden, weil beliebige nicht-lineare Differentialgleichungen betrachtet werden können. Der durch die Reduzierte Basis Methode induzierte Fehler kann zudem mit dem entwickelten a posteriori Fehlerschätzer kontrolliert werden. Die Approximation von konvektionsdominierten Trajektorien durch einen einzelnen Reduzierte Basis Raum stellte sich als schwierig dar, und motivierte daher die Entwicklung des sogenennten Partitioning. Hierbei werden für kleine Teil Intervalle des Zeitintervalls auf dem das Evolutionsproblem definiert ist, spezialisierte kollaterale Basisräume erstellt. Desweiteren stellten wir fest, dass bereits während der Generierung der Reduzierten Basis eine Steuerung der Genauigkeit der Empirischen Operator Interpolation nötig ist. Dies hat zur Entwicklung des sogenannten PODEL-GREEDY-Algorithmus geführt. Alle Bestandteile des Verfahrens wurden erfolgreich anhand einer Liste von Beispielproblemen getestet. Während der Projektlaufzeit wurde diese Liste so erweitert, dass kontinuierlich weitere Aspekte typischer Anwendungen, die mit instationären partiellen Differentialgleichungen modelliert werden, getestet werden konnten. Die Liste umfasst die Modellierung von skalaren Evolutionsproblemen, die sowohl konvektions- als auch diffusionsdominant sein können, und glatte oder unstetige Anfangswerte und Lösungen aufweisen. In der letzten Projektphase wurde schließlich ein Zweiphasenströmungs-Modell - wie es beispielsweise in der Olreservoir-Simulation verwendet wird - reduziert. Effizienzgewinne durch die Verwendung der Reduzierte Basis Methode konnten auch hier bestätigt werden. Die konzeptionelle Entwicklung und die anschließende Implementierung der entstandenen Softwarepakete RBMatlab und DUNE-RB wurde in Zusammenarbeit mit mehreren Mitgliedern der beteiligten Projektgruppen durchgeführt. Dadurch kann die Software in Zukunft als Basis für weitere Entwicklungen und wissenschaftliche Untersuchungen auf dem Gebiet der Modellreduktion mit Reduzierten Basis Methoden dienen. Die Software wurde zudem so konstruiert, dass in Zukunft vorhandene numerische Löser mit möglichst wenig Aufwand an die entwickelten Methoden angedockt werden können. Dadurch wurde eine solide Grundlage zur Verwendung der Methode mit anwendungsrelevanter Software gelegt.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Reduced basis method for finite volume approximation of evolution equations on parametrized geometries. In Proceedings of ALGORITMY 2009, pages 111-120, 2008
M. Drohmann, B. Haasdonk, and M. Ohlberger
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Reduced basis method for quadratically nonlinear transport equations. Int. J. Comput. Sci. Math., 2(4):334-353, 2009
N. Jung, B. Haasdonk, and D. Kröner
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Adaptive reduced basis methods for nonlinear convection-diffusion equations. In J. F. et al., editor, Finite Volumes for Complex Applications VI - Problems & Perspectives, volume 1 of Springer Proceedings in Mathematics 4, pages 369-377. Springer, 2011
M. Drohmann, B. Haasdonk, and M. Ohlberger
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A software framework for reduced basis methods using DUNE-RB and RBMATLAB. In A. Dedner, B. Flemisch, and R. Klöfkorn, editors. Advances in DUNE, pages 77-88. Springer Berlin Heidelberg, 2012
M. Drohmann, B. Haasdonk, S. Kaulmann, and M. Ohlberger
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Reduced basis approximation for nonlinear parametrized evolution equations based on empirical operator interpolation. SIAM J. Sci Comp. 34(2):A937-A969, 2012
M. Drohmann, B. Haasdonk, and M. Ohlberger
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Reduced basis model reduction for non-linear evolution equations. PhD thesis. University of Münster, 2012
M. Drohmann
