Abtastung und Identifizierung von Operatoren und Anwendungen

• Antragsteller: Professor Götz Eduard Pfander, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2009 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 111001434

Im Folgenden beschreiben wir aktuelle Forschungsrichtungen im Bereich der Abtasttheorie für Operatoren. Das klassische Abtasttheorem adressiert die Bestimmung von bandbegrenzten Funktionen basierend auf Abtastwerten auf einem genügend fein gewählten Gitter. Abtastsätze für Operatoren hingegen betreffen die Bestimmung eines Pseudodifferentialoperators mit bandbegrenztem Kohn-Nirenberg Symbol anhand der Aktion des Operators auf einer geeignet gewählte Distribution mit diskretem Träger.Im nun abgeschlossenen Teil des Projects Sampling and Identification of Operators and Applications (SamOA) wurden explizite Rekonstruktionsformeln für solche Operatoren angegeben, deren Bandbegrenzung durch eine beschränkte Jordanmengen mit Lebesgue-Maß kleiner als eins beschrieben wird. Im Fall von stochastische Operatoren wird diese Bedingung ersetzt durch die Bedingung das der Träger der Kovarianz Funktion der nun stochastischen Spreading Function des Operators in einer Menge mit kleinem Volumen enthalten ist. Unsere Ergebnisse führten zu zwei Schätzverfahren für Wide Sense Stationary with Uncorrelated Scatterers (WSSUS) Kanäle. Der etwas aufwendigere ist anwendbar für WSSUS Kanäle mit beliebig großem, aber beschränktem Träger der Kovarianz Funktion.Im laufenden Projekt wurden auch approximationstheoretische Abtastsätze für Operatoren formuliert und bewiesen. Diese zeigen, dass auch Funktionen der Schwartz-Klasse als Identifikatoren benutzt werden können wenn es darum geht nur Eigenschaften des Kanals in einem relevanten, Zeit und Frequenz eingeschränkten Sendebereich zu bestimmen.Das Identifikationsproblem steht im entsprechenden endlich dimensionalen Fall in unmittelbarem Zusammenhang mit der Konstruktion von Zeit-Frequenz strukturierten Messungsmatrizen im Bereich des Compressive Sensing. Unsere Resultate in diesem Bereich beinhalten Erfolgsgarantien für Basis Pursuit (l^1-Minimierung) für Zeit-Frequenz strukturierten Messmatrizen.Die oben beschriebenen Resultate behandeln vorrangig als Identifikatoren periodische Distributionen deren Träger in einer diskreten Untergruppe der reellen Zahlen enthalten sind. In der Fortsetzung des Projektes planen wir eine Fokussierung auf nicht regulär verteilte Abtastmengen, das heißt, auf Identifikatoren die einen diskreten Träger haben welcher nicht Teilmenge einer diskreten Untergruppen der reellen Zahlen ist. Insbesondere hoffen wir dadurch Identifikatoren zu etablieren welche dazu fähig sind Operatoren jeglicher Bandlimitierungsmengen einer festgelegten Breite zu bestimmen. In unseren Untersuchungen planen wir auf universelle Abtastmengen für Funktionen zurückzugreifen wie zum Beispiel die von Meyer und Matei studierten Quasicrystalle und die von Olevskii and Ulanovskii propagierten endlichen Vereinigungen artithmetischer Progressionen. Des weiteren werden wir zufällige Abtastmengen betrachten und Verbindungen zur mathematischen Learning Theory herstellen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen