Doppelperiodische Lösungen der sinh-Gordon-Gleichung und die Lawsonflächen
Final Report Abstract
Im Verlauf des Projekts verlagerten sich die Forschungsbemühungen. Dies lag neben den dokumentierten Fehlschlägen auch daran, dass die Erfolgsaussichten auf eine effektive Beschreibung des Modulraums von CMC-Flächen höheren Geschlechts hier am viel versprechendsten waren. In diesem Zusammenhang wurde das Verständnis der Monodromie des flachen Zusammenhangs längs der Perioden vertieft und damit die Einführung von Spektraldaten für zunächst periodische Lösungen der sinh-Gordon-Gleichung ermöglicht. Diese Spektraldaten beschreiben Lösungen der sinh-Gordon-Gleichung auf einem offenen Zylinder-Stück, welche nicht von endlichem Typ sein müssen. Das bessere Verständnis der Jacobi-Varietät der zugehörigen Spektralkurve von unendlichem Geschlecht sollte es dann auch ermöglichen, den Raum der Lösungen mit Singularitäten besser zu verstehen. Außerdem wurde das Hamilton’sche Framework für periodische finite-type-Lösungen der sinh-Gordon-Gleichung ausgearbeitet. In diesem Zusammenhang wurde das Verständnis des Modulraums solcher Lösungen als symplektische Mannigfaltigkeit vertieft sowie ein Zusammenhang zwischen der zugehörigen symplektischen Form und der Serre-Dualität hergestellt.
