L2-invariants of groups

• Applicant: Professor Dr. Thomas Schick
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2009 to 2017
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 144856302

• Final Report Year: 2018

Final Report Abstract

Algebraische Topologie beschäftigt sich mit dem Studium geometrischer Objekte mit Hilfe algebraischer Techniken. Wichtig ist insbesondere die Konstruktion und Berechungn von Invarianten, z.B. Zahlen (aber auch kompliziertere Größen) mit welchen die geometrischen Objekte unterschieden werden können. Ein einfaches Beispiel hierzu ist das Geschlecht, die Anzahl der Löcher einer zweidimensionalen Oberfläche ohne Rand. Systematisch wird dies mit Hilfe von Homologiegruppen und -Vektorräumen und deren Dimension gelöst. Eine Variante dieser Größen sind die L2-Bettizahlen, die mit Hilfe einer Kombination aus algebraischen und funktionalanalytischen Methoden konstruiert werden. Wichtig sind nun grundlegende a priori-Eigenschaften dieser Invarianten: welche Einschränkungen an die möglichen Werte gibt es (die Atiyah-Frage), wie stehen die L2-Bettizahlen (und verwandte Größen, insbesondere die L2-Torsion) in Beziehung zur lokalen Geometrie des Raums? Kann man, trotz des Mangels an Funktionalanalysis, eine gute Variante der L2-Bettizahlen mit endliche Körperkoeffizienten kreieren und was sind deren Eigenschaften? Die wichtigsten Beiträge zu Antworten auf diese Fragen, die im Projekt erzielt wurden, sind die folgenden: • Konstruktion von “wilden” L2-Bettizahlen mit endlichen Körperkoeffizienten; • Strukturtheorie für den Divisions und seine Beziehung zur Atiyah-Vermutung für zentrumswertige L2-Bettizahlen; • Beweis eines Familien-L2-Indexsatzes; • Berechung der L2-Torsion, L2-Bettizahlen und der Novikov-Shubin-Invarianten von nicht-uniformen lokalsymmetrischen Räumen.

Publications

• L2-invariants of nonuniform lattices in semisimple Lie groups, Georg-August-Universität Göttingen, 2013
  Holger Kammeyer
  
• L2-invariants of nonuniform lattices in semisimple Lie groups, Algebr. Geom. Topol. 14 (2014), no. 4, 2475–2509
  Holger Kammeyer
  (See online at https://doi.org/10.2140/agt.2014.14.2475)
• Closed manifolds with transcendental L2-Betti numbers, J. Lond. Math. Soc. (2) 92 (2015), no. 2, 371–392
  Mikaël Pichot, Thomas Schick, and Andrzej Zuk
  (See online at https://doi.org/10.1112/jlms/jdv026)
• Large time limit and local L2-index theorems for families, J. Noncommut. Geom. 9 (2015), no. 2, 621–664
  Sara Azzali, Sebastian Goette, and Thomas Schick
  (See online at https://doi.org/10.4171/JNCG/203)
• On an analogue of L2-Betti numbers for finite field coefficients and a question of Atiyah, Georg-August-Universität Göttingen, 2016
  Johannes Neumann
  
• On computing homology gradients over finite fields, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 162 (2017), no. 3, 507–532
  Lukasz Grabowski and Thomas Schick
  (See online at https://doi.org/10.1017/S0305004116000657)
• On the center-valued Atiyah conjecture for L2-Betti numbers, Doc. Math. 22 (2017), 659–677
  Anselm Knebusch, Peter Linnell, and Thomas Schick
  
• Generalized Seiberg-Witten and the Nahm transform, Georg-August-Universität Göttingen, 2018
  Robin Raymond