Konsistente Raum-Zeitdiskretisierung thermomechanisch gekoppelter elastomerer Strukturen mit Hilfe von Rosenbrock-Verfahren

• Applicant: Professor Dr.-Ing. Stefan Hartmann
• Subject Area: Mechanics
• Term: from 2006 to 2010
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 15170638

• Final Report Year: 2010

Final Report Abstract

In diesem Projekt wird die numerische Behandlung thermomechanisch gekoppelter Strukturberechnungen mit Hilfe der Methode der nichtlinearen finiten Elemente im Rahmen einer modernen Betrachtungsweise einer konsistenten Raum-Zeitdiskretisierung am Beispiel eines temperaturabhängigen Elastomerwerkstoffes unter der Annahme großer Verzerrungen umgesetzt. Hierbei werden erstmalig sogenannte Rosenbrock-Verfahren auf das vorliegende Algebro-Differentialgleichungssystem (DAE-System) angewendet. Der differentielle Anteil des DAE-System besteht aus der schwachen Form der Wärmeleitungsgleichung sowie den Evolutionsgleichungen der inneren Variablen, welche das Verfestigungsverhalten des Materials beschreiben. Der algebraische Anteil ist durch die schwache Form der Gleichgewichtsbedingungen gegeben. Die Rosenbrock-Verfahren besitzen den enormen Vorteil, dass sie im Gegensatz zu herkömmlichen Verfahren im Rahmen der impliziten Finiten Element Methode (FEM) eine vollkommen iterationsfreie Vorgehensweise ermöglichen. Des Weitern ist eine relativ einfache Möglichkeit der Zeitadaptivität durch eingebettete Verfahren integrierbar. Untersuchungen bei kleinen als auch bei finiten Deformationen für Modelle der nichtlinearen Viskoelastizität liefern bei gleichen Genauigkeitsanforderungen erhebliche Rechenzeitreduktionen im Vergleich zu klassischen Verfahren, die in einem weiten Spektrum von kommerziellen FEM-Softwarepaketen implementiert sind. Auch Vergleiche mit den weit effizienteren diagonal-impliziten Runge-Kutta Verfahren, haben beträchtliche Rechenzeitersparnisse erzielt. Bei rein thermischen Untersuchungen, bei der die schwache Form der instationären Wärmeleitungsgleichung in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung gelöst werden, erweisen sich die Rosenbrock-Verfahren bezüglich Stabilität, Genauigkeit sowie numerischem Aufwand als enorm effizient. Insbesondere bei der nichtlinearen instationären Wärmeleitungsgleichung, die aufgrund der Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität, der Wärmeleitfähigkeit und der Emissivität resultiert, sind die Rechenzeitersparnisse durch das iterationsfreie Vorgehen bemerkenswert. Die bei den Untersuchungen erzielten Genauigkeitsverbesserungen und Rechenzeitersparnisse werden bei der Übertragung dieser Verfahren auf gekoppelte Problemstellungen erwartet. Durch unsere Arbeit in ein sehr junges Forschungsfeld konnte eine neue Betrachtungsweise der nichtlinearen Methode der finiten Elemente unter Anwendung von Rosenbrock-Verfahren motiviert werden, welche sich bei mechanischen und thermischen Problemstellungen im Vergleich zu derzeit gängigen Verfahren durchsetzen kann.

Publications

• “Application of Rosenbrock-type methods to a constitutive model of polymeric material”, ICIAM07 Zurich, Switzerland (2007)
  A.-W. Hamkar, S. Hartmann
  
• “Application of Rosenbrock-type methods to a constitutive model of polymeric material”, Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics Volume 7, Issue 1 (2007):4060045-4060046
  A.-W. Hamkar, S. Hartmann
  
• “Application of Rosenbrock-type methods to a finite element formulation based on large strain viscoelasticity”, GAMM08 Bremen, Germany (2008)
  A.-W. Hamkar, S. Hartmann
  
• “Application of Rosenbrock-type methods to a finite element formulation based on large strain viscoelasticity”, Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics Volume 8, Issue 1 (2008):10281-10282
  A.-W. Hamkar, S. Hartmann
  
• “Displacement control in time-adaptive nonlinear finite-element analysis”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Volume 88, Issue 5 (2008)
  S. Hartmann, K.-J. Quint, A.-W. Hamkar
  
• “Finite element analysis using time-adaptive Rosenbrocktype methods for finite strain viscoelasticity”, WCCM08 Venice, Italy (2008)
  A.-W. Hamkar, S. Hartmann
  
• “An iteration free and high order procedure in non-linear finite element analysis”, 3rd GACM – Colloquium on Computational Mechanics, Hannover, Germany (2009)
  A.-W. Hamkar, S. Hartmann
  
• “Finite Element Computations based on Rosenbrock-Type Methods”, International Conference on Computational Plasticity, E. Onate, D.R.J. Owen and B. Suárez, Eds., ISBN 978-84-96736-69-6, CIMNE, Barcelona, Spain (2009)
  A.-W. Hamkar, S. Hartmann
  
• “Finite Element Computations Based on Rosenbrock-Type Methods”, X International Conference on Computational Plasticity, Barcelona, Spain (2009)
  A.-W. Hamkar, S. Hartmann
  
• “High-order time integration in structural finite element analysis based on material nonlinearities”, 12th Seminar NUMDIFF on Numerical Solution of Differential and Differential-Algebraic Equations, Halle (Saale), Germany (2009)
  Stefan Hartmann, Ahmad-Wahadj Hamkar, Karsten J.Quint
  
• “Übertragung von Rosenbrock-Verfahren auf Finite-Elemente Berechnungen für elastomere Strukturen”, In (Eds.) Brenner, G., Hanschke, T., Kolonko, M.: Simulationswissenschaftliches Zentrum der Technischen Universität Clausthal. Bericht 2007-2008, Simulationswissenschaftliches Zentrum TU Clausthal, 158 - 165, 2009
  S. Hartmann, A.-W. Hamkar