Existenz und qualitative Eigenschaften von Gleichgewichtslösungen von Euler-Lagrange Gleichungen aus der nichtlinearen Elastizitätstheorie
Final Report Abstract
Während meines Forschungsaufenthaltes in Bath vom Februar 2007 bis Januar 2008 arbeitete ich mich in die mathematische Theorie der Wasserwellen ein. Insbesondere interessierten mich hier Wellen unter dem Einfluss von Wirbelbildungen. Dies ist denke ich ein Thema, was unter dem Aspekt der rigorosen Mathematik noch im Anfangsstadium steckt. So ist die wesentliche Fragestellung im Moment die der Existenz von Lösungen und deren qualitatives Aussehen. Wasserwellen werden mittels einer partiellen Differenzialgleichung beschrieben, deren wesentliche Schwierigkeit ist, dass das Gebiet, auf welchem sie definiert ist, nicht fix gegeben ist. Um dieses Problem zu umgehen, wird mit Hilfe von neuen Variablen diese Diffenzialgleichung derart umgeformt, dass das neu zugrundeliegende Gebiet fest ist. Der Nachteil bei dieser Transformation ist jedoch, dass die ”neue” Differenzialgleichung deutlich schwere Gestalt hat. Ist diese Transformation jedoch einmal geschehen, so lässt sich bereits bekannte Theorie anwenden, um die Existenz von Lösungen zu beweisen. Der Beitrag, den John Toland und ich in einer gemeinsamen Arbeit dazu leisteten, ist der folgende: Um die bereits bestehenden Existenzresultate bezüglich Wasserwellen unter dem Einfluss von Wirbeln zu verbessern und auszuweiten, gebrauchten wir eine andere Transformation der Differenzialgleichung als die bisher übliche. Diese ergibt nun eine Problemstellung, die der Wasserwellen ohne Wirbeln ähnelt und deshalb für uns natürlicher erschien. Ferner ergibt sich folgendes: 1. Ohne technische Zusatzbedingungen an die Wirbelfunktion, die sonst in der Literatur auftauchen, gelingt es uns Existenz von Lösungen zu zeigen. 2. Ferner ist die von uns gefundene Lösungsstruktur reichhaltiger. Das heisst: Wir finden eine grössere Anzahl von qualitativ unterschiedlichen Lösungen. Unsere weitere Hoffnung besteht nun darin, mit Hilfe der von uns gefundenen Transformation der Differenzialgleichung qualitative Eigenschaften dieser Lösungen zeigen zu können.
