Einseitige und zweiseitige Austrittsprobleme für stochastische Prozesse

• Applicant: Professor Dr. Frank Aurzada
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2009 to 2017
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 159071155

• Final Report Year: 2015

Final Report Abstract

Das Projekt beschäftigte sich mit ein- bzw. zweiseitigen Austrittszeiten für stochastische Prozesse (Persistence-Wahrscheinlichkeiten bzw. Kleine Abweichungen). Während das erstgenannte Thema ein dynamisches Feld ist, in dem in den letzten Jahren eine Reihe von Durchbrüchen erzielt wurden, ist das zweite Feld ein bereits gut untersuchtes Thema. Für Persistence-Wahrscheinlichkeiten konnte das vorliegende Projekt einige wesentliche Beiträge in einer frühen Phase der Theorie liefern. Insbesondere wurden neue Persistence-Exponenten gefunden (gewichtete Irrfahrten, iterierte Prozesse, autoregressive Prozesse, integrierte Lévyprozesse und integrierte Irrfahrten) und neue Techniken in das Feld eingeführt (Kopplungstechnik, Zusammenhänge zwischen Austrittszeiten mit konstanten und nicht-konstanten Barrieren). Bei zweiseitigen Austrittswahrscheinlichkeiten untersuchte das Projekt den Zusammenhang zwischen kleinen Abweichungen und dem Chung-Typ Gesetz vom iterierten Logarithmus für Lévyprozesse. Weiterhin betrachteten wir ein interessante Klasse von Gaußprozessen und fanden mit Hilfe von funktionalanalytischen Methoden die Rate der kleinen Abweichungen.

Publications

• On the one-sided exit problem for fractional Brownian motion. Electron. Commun. Probab., 16:392–404, 2011
  F. Aurzada
  
• Survival probabilities of weighted random walks. ALEA Lat. Am. J. Probab. Math. Stat., 8:235–258, 2011
  F. Aurzada and C. Baumgarten
  
• Persistence of fractional Brownian motion with moving boundaries and applications. J. Phys. A, 46(12):125007, 12, 2013
  F. Aurzada and C. Baumgarten
  (See online at https://doi.org/10.1088/1751-8113/46/12/125007)
• Small deviations for a family of smooth Gaussian processes. J. Theoret. Probab., 26(1):153–168, 2013
  F. Aurzada, F. Gao, T. Kühn, W. V. Li, and Q.-M. Shao
  (See online at https://doi.org/10.1007/s10959-011-0380-5)
• Small time Chung-type LIL for Lévy processes. Bernoulli, 19(1):115–136, 2013
  F. Aurzada, L. Döring, and M. Savov
  (See online at https://doi.org/10.3150/11-BEJ395)
• Universality of the asymptotics of the one-sided exit problem for integrated processes. Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat., 49(1):236– 251, 2013
  F. Aurzada and S. Dereich
  (See online at https://doi.org/10.1214/11-AIHP427)
• Persistence of some iterated processes. Probab. Math. Statist., 34(2):293–316, 2014
  C. Baumgarten
  
• Persistence probabilities for a bridge of an integrated simple random walk. Probab. Math. Statist., 34(1):1–22, 2014
  F. Aurzada, S. Dereich, and M. Lifshits
  
• Survival probabilities of autoregressive processes. ESAIM Probab. Stat., 18:145–170, 2014
  C. Baumgarten
  (See online at https://doi.org/10.1051/ps/2013031)
• First passage times of Lévy processes over a one-sided moving boundary. Markov processes and related fields, 21:1–38, 2015
  F. Aurzada, T. Kramm, and M. Savov