a) Exotische Sphären und exotische projektive Räume b) Geometrische Modellierung spezieller Homotopiegruppen c) Mannigfaltigkeiten positiver oder nicht-negativer Schnittkrümmung d) Isometrische Operationen und Stratifizierungen durch Untermannigfaltigkeiten
Final Report Abstract
In der modernen Mathematik spielen Räume eine wesentliche Rolle. Einer der wesentlichen Raumbegriffe ist der Mannigfaltigkeitsbegriff. Die Hauptergebnisse dieses Projekts sind unterschiedliche Konstruktionsverfahren für spezielle Mannigfaltigkeiten und spezielle Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten. In einer gemeinsamen Arbeit mit C. Duran und A. Rigas werden neue Modelle für alle exotischen 7-Sphären konstruiert: Eine Standard-2-Sphäre ist nichts anderes als eine Kugeloberfläche. Eine Standard-7-Sphäre ist das entsprechende 7-dimensionale Objekt. Exotische 7-Sphären sind Mannigfaltigkeiten, die zwar topologisch äquivalent zu Standard-7-Sphären sind, sich aber bezüglich der Differentialrechnung von diesen unterscheiden. Vor unserer Arbeit gab es zwei Standardkonstruktionen für alle 14 exotischen 7-Sphären und eine spezielle Konstruktion für eine spezielle exotische 7-Sphäre, die sogenannte Gromoll-Meyer-Sphäre. Uns ist es gelungen, die Gromoll-Meyer-Konstruktion so zu modifizieren, dass mit ihr jede der 14 exotischen 7-Sphären auf unendlich viele verschiedene Arten erhalten werden kann. Damit steht jetzt eine dritte Standardkonstruktion für alle exotischen 7-Sphären zur Verfügung. Diese Konstruktion teilt die exotischen 7-Sphären überraschendenweise in zwei Klassen ein: Die exotischen 7-Sphären in der einen Klasse ähneln hinsichtlich ihrer Geometrie und ihrer Symmetrien der Standard-7-Sphäre, die in der zweiten Klasse ähneln der Gromoll-Meyer-Sphäre. In einer anderen Arbeit habe ich neue natürliche Selbstabbildungen von Kohomogenität 1-Mannigfaltigkeiten konstruiert, zugehörige Invarianten berechnet und einige theoretische Konsequenzen aufgezeigt. Diese Konstruktion verspricht mehrere Anwendungsmöglichkeiten. Ein erstes Anschlußprojekt wurde mit einer inzwischen erfolgreich abgeschlossenen Diplomarbeit gestartet.
Publications
- A minimal Brieskorn 5-sphere in the Gromoll-Meyer sphere and its applications, Mich. Math. J. 56 (2008), 419-451
C. Duran, T. Püttmann
- Cohomogeneity one manifolds and selfmaps of nontrivial degree, Transform. Groups 14 (2009), 225-247
T. Püttmann
- An infinite family of Gromoll-Meyer spheres, Arch. Math. 95 (2010), 269-282
C. Duran, T. Püttmann, A. Rigas
