Relationen im Raum der unitrivalenter Graphen und ihre Implikationen für die Rozansky-Witten-Theorie irreduzibler holomorph symplektischer Mannigfaltigkeiten

• Antragsteller: Professor Dr. Marc Nieper-Wißkirchen
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2010 bis 2011
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 166303650

Holomorph symplektische Mannigfaltigkeiten sind spezielle komplexe Mannigfaltigkeiten,also spezielle Objekte der komplexen Geometrie. Während die Vielfalt der komplexenMannigfaltigkeiten ein Vorhaben ihrer vollständige Klassifikation als nicht sehr realistischerscheinen läßt, ist im Gegensatz dazu die Klasse der holomorph symplektischenMannigfaltigkeit so viel kleiner, so daß eine vollständige Klassifikation nicht utopisch ist. Dazuist allerdings ein umfangreiches Wissen über die Geometrie dieser Mannigfaltigkeitennotwendig. Dieses Projekt soll zu diesem Wissen beitragen, und zwar sollen universelleRelationen, also Gleichungen, im Kohomologierung einer allgemeinen holomorphsymplektischen Mannigfaltigkeiten gefunden werden.Die wesentliche Idee dieses Projektes ist, daß es eine Kontruktionsvorschrift für Elementen inder Kohomologie holomorph symplektischer Mannigfaltigkeiten aus gewissenHomologieklassen dreiwertiger Graphen, also kombinatorischen Objekten, gibt. Dies ist derInhalt der Rozansky-Witten-Theorie. Jetzt gibt es zwischen den dreiwertigen Graphengewisse Gleichungen, welche via dieser Konstruktionsvorschrift dann auf die Kohomologieübertragen werden können. Im Rahmen dieses Projektes soll daher die Kombinatorik derdreiwertigen Graphen untersucht werden und die Ergebnisse auf die Kohomologie holomorphsymplektischer Mannigfaltigkeiten übertragen werden. Schließlich sollen die gefundenRelationen in der Kohomologie geometrisch interpretiert werden, und auf ihre Anwendungenin der Geometrie untersucht werden. Da die Graphenhomologie immer noch nicht gutverstanden ist, liegt der Schwerpunkt des Vorhabens auf Rechnungen in dem Raum derGraphen. Nebenbei wird dadurch das Vorhaben interessant nicht nur für die kompIexeGeometrie, sondern auch für die vielen anderen Teilgebiete der Mathematik, in denen dieGraphenhomologie eine Rolle spielt (z.B. in der Theorie der Lieschen Algebren oder derKnotentheorie).

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen