Entwicklung von mathematischen Modellen und numerischen Lösern für die Vektortomographie in unterschiedlichen Geometrien und Medien
Final Report Abstract
Das abgelaufene Projekt hat zu bedeutenden Fortschritten im Bereich der 2D und 3D Vektortomographie entscheidend beigetragen und zwar sowohl in analytischer, als auch in numerischer Hinsicht. Der Herleitung einer asymptotischen sowie einer exakten Inversionsformel für die 3D Cone Beam Vektortomographie muss als echter Durchbruch gewertet werden. Das erstaunliche an der Formel ist, dass sie aus zwei Teilen besteht, wobei der erste Teil große Ähnlichkeit mit Formeln aus dem skalaren Fall hat, der zweite Teil hingegen sich nicht effizient implementieren lässt. Eine Weiterentwicklung, die eine effizientere Implementierung zulässt, erfolgt derzeit im Rahmen des noch laufenden Projekts. Dieser zweite Teil verschwindet jedoch, wenn das Vektorfeld divergenzfrei ist und einen kompakten Träger hat. Bei der Herleitung dieser Formeln traten Hindernisse auf. So war die Verallgemeinerung der berühmten Formel von Grangeat auf Vektorfelder nicht zielführend. Vielmehr muss die zweite anstatt der ersten Ableitung der Delta-Distribution und der gerade Anteil der Messdaten in die Formel einfließen. So erhält man eine analoge Formel, die dann tatsächlich unter Ausnutzung orthogonaler Polynomentwicklungen zu einer Inversionsformel zur Berechnung des divergenzfreien Anteils des gesuchten Vektorfeldes führt. Es gelang, diese erste, asymptotische Formel in eine exakte Formel weiterzuentwickeln, die derzeit im Rahmen einer Masterarbeit numerisch validiert wird. Weiterhin wurde im Rahmen des Projekts ein numerisches Verfahren entwickelt, das einerseits eine Approximation an den Brechungsindex des Mediums liefert, andererseits einen Satz zugehöriger Geodäten. Um Approximationsfehler in der Vektortomographie zu vermeiden, ist eine möglichst genaue Kenntnis des Brechungsindexes unumgänglich. Dieser wird stabil durch Minimierung eines geeigneten Tikhonov-Funktionals berechnet. Zukünftige Forschung auf dem Gebiet soll nun die Berechnung des Vektorfeldes durch algebraische Rekonstruktionstechniken (ART) ermöglichen. Auch für andere Forschungsgebiete, wie zum Beispiel der Seismik, ist der numerische Löser von Bedeutung. Zuletzt wurde das bereits in einem früheren Projekt entwickelte Konzept der Defektkorrekturverfahren basierend auf Randelementmethoden erfolgreich erweitert auf den dreidimensionalen Bereich. Als Fazit gilt es festzuhalten, dass alle Arbeitspakete des Projekts erfolgreich abgearbeitet wurden und sich darauf aufbauend sehr spannende, neue Fragen ergeben haben, die auch für andere, wissenschaftliche Problemfelder von Bedeutung sind und Gegenstand eines zukünftigen Antrags sein werden.
Publications
- Asymptotic inversion formulas in 3D vector field tomography for different geometries. J. Inv. Ill-Posed Prob., 19:769-799, 2011
S.G. Kazantsev and T. Schuster
- Singular value decomposition and its application to numerical inversion for ray transforms in 2D vector tomography. J. Inv. Ill-Posed Prob., 19:689-715, 2011
E.Y. Derevtsov, A. Efimov, A.K. Louis, and T. Schuster
- An exact inversion formula for cone beam vector tomography. Inverse Problems, 29, Article ID 065013, 13pp, 2013
A. Katsevich and T. Schuster
(See online at https://doi.org/10.1088/0266-5611/29/6/065013) - A numerical solver based on B-splines for 2D vector field tomography in a refracting medium. Mathematics and Computers in Simulation, 97:207-223, 2014
E.Y. Derevtsov, I.E. Svetov, Y.S. Volkov, and T. Schuster
(See online at https://doi.org/10.1016/j.matcom.2013.10.002)
