Self-similar groups and algebras

• Applicant: Professor Dr. Laurent Bartholdi
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2010 to 2017
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 179753345

• Final Report Year: 2016

Final Report Abstract

Selbstähnliche, oder auch fraktale Objekte finden sich in der Geometrie im Überfluss, doch ihr Auftreten in der Algebra ist vergleichsweise neu. Gruppen, assoziative Algebren und Lie-Algebren heißen selbstähnlich, wenn sie mit einer Bimenge (bzw. einem Bimodul) versehen sind, also einer Menge (bzw. einem Modul) mit zwei miteinander vertauschenden Wirkungen von links und rechts, wobei die Wirkung von rechts frei sein soll. Wichtige Beispiele umfassen nach Grigorchuk und anderen die unendlichen Torsionsgruppen und Gruppen von exponentiellem Wachstum. Ein dynamisches System kann auf einfache Weise als selbstähnliche Gruppe verstanden werden; dies gibt uns eine ausgesprochen kraftvolle algebraische Invariante des dynamischen Systems, und zudem eine Verbindung zwischen Dynamik und Algebra. Das Projekt konzentriert sich auf zwei Hauptaspekte selbstähnlicher Gruppen: (1) Die Konstruktion unendlich-dimensionaler Algebren mit außergewöhnlichen neuen Eigenschaften; und (2) die Verbindung zwischen Gruppentheorie und holomorpher Dynamik, mit einem besonderen Augenmerk auf höherdimensionale Abbildungen.

Publications

• Growth of permutational extensions, Invent. Math. 189 (2012), no. 2, 431–455
  Laurent Bartholdi and Anna Erschler
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00222-011-0368-x)
• The congruence subgroup problem for branch groups, Isr. J. Math 187 (2012), 419–450
  Laurent Bartholdi, Olivier Siegenthaler, and Pavel A. Zalesskii
  (See online at https://doi.org/10.1007/s11856-011-0086-5)
• (Self-)similar groups and the Farrell-Jones conjectures, Groups Geom. Dyn. 7 (2013), no. 1, 1–11
  Laurent Bartholdi
  (See online at https://doi.org/10.4171/GGD/175)
• Groups of given intermediate word growth, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 64 (2014), no. 5, 2003–2036
  Laurent Bartholdi and Anna Erschler
  
• Imbeddings into groups of intermediate growth, Groups Geom. Dyn. 8 (2014), no. 3, 605–620
  Laurent Bartholdi and Anna Erschler
  (See online at https://doi.org/10.4171/GGD/241)
• Lie dimension subrings, Internat. J. Algebra Comput. 25 (2015), no. 8, 1301–1325
  Laurent Bartholdi and Inder Bir S. Passi
  (See online at https://doi.org/10.1142/S0218196715500423)
• Self-similar Lie algebras, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 17 (2015), 3113–3151
  Laurent Bartholdi
  (See online at https://dx.doi.org/10.4171/JEMS/581)