Topologie, Geometrie und Analysis dreidimensionaler Fraktale

• Applicant: Professor Dr. Christoph Bandt
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2010 to 2016
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 181145837

• Final Report Year: 2017

Final Report Abstract

Das Projekt untersuchte die Geometrie von fraktalen Mengen und Maßen, bei denen die Gestalt kleiner Teile sich durch eine Rekursionsvorschrift aus den größeren ergibt. Man möchte auch wissen, ob solch eine Selbstähnlichkeitseigenschaft die Analysis der Mengen vereinfacht. Wenn die Rekursion durch einen endlichen Graphen gegeben.ist, spricht man von Fraktalen endlichen Typs. Für diese Klasse von Fraktalen im n-dimensionalen Raum wurden Schnitte mit Hyperebenen ebenfalls durch Graphen beschrieben. Dadurch lasst sich die Dimension reduzieren. Eine einfache Klasse fraktaler Maße, die man noch nicht richtig versteht, sind die Bernoulli-Faltungen. Für diese wurde ein neuer Zugang entwickelt, der den Zusammenhang mit eindimensionalen dynamischen Systemen und die Bedeutung der Parameter mit endlichem Typ deutlich macht. Zur Analysis wurde ein Zugang verfolgt, der das Spektrum des Hutchinson-Operators und Eigenfunktionen des dualen Transfer-Operators bestimmt. Daraus ergibt sich die Möglichkeit, fraktale Maße in bestimmten Fällen durch Polynome anzunähern. Ein anderes Ergebnis ist eine selbstähnliche Parkettierung der Ebene mit fraktalen Rändern und stetigem Fourier-Spektrum. Neben geometrischer Grundlagenforschung wurde versucht, über zufällige Fraktale und stochastische Prozesse eine Brücke zu schlagen zur praktischen Auswertung von großen Zeitreihendaten. Dabei wurde ein „fraktaler“ Parameter gefunden, der sich besonders gut auf EEGs (Messungen von Hirnströmen) anwenden lasst. Bei Schlaf-EEGs bestimmt dieser Parameter auf sehr einfache Weise die Struktur der Schlafstadien. In dieser Richtung wird weiter gearbeitet.

Publications

• A single fractal pinwheel tile, in Proc. Amer. Math. Soc.
  C. Bandt, D. Mekhontsev, A. Tetenov
  
• Differentiability of fractal curves, Nonlinearity 24 (2011), 2717-2728
  C. Bandt und A. Kravchenko
  
• Local structure of self-affine sets, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 33(5) (2013), 1326-1337
  C. Bandt and A. Käenmäki
  
• Some Examples of finite type fractals in three-dimensional space, 191-199 in: C. Bandt, M. Barnsley, R. Devaney, K.J. Falconer, V. Kannan, Vinod Kumar P.B. (eds.), Fractals, Wavelets, and their Applications, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Vol. 92, Springer 2014
  Mai The Duy
  (See online at https://doi.org/10.1007/978-3-319-08105-2_12)
• Branching dynamical systems and slices through fractals, Dissertation, Universität Greifswald 2015
  R. Zeller
  
• Affine Iterated Function Systems, invariant measures and their approximation, Dissertation, Universität Greifswald 2016
  H. Peña
  
• Finite orbits in multivalued maps and Bernoulli convolutions
  C. Bandt und R. Zeller
  
• A new kind of permutation entropy used to classify sleep stages from invisible EEG microstructure, Entropy 2017, 19, 197
  C. Bandt
  (See online at https://doi.org/10.3390/e19050197)
• Polynomial approximation of self-similar measures and the spectrum of the transfer operator, Discrete and Continuous Dynamical Systems 37, September 2017, 4611-4623
  C. Bandt und H. Peña
  (See online at https://doi.org/10.3934/dcds.2017198)
• The two-dimensional density of Bernoulli Convolutions, Chapter 2 in: Recent Developments in Fractals and Related Fields III (J. Barral, S. Seuret, eds.), Birkhaeuser, Trends in Mathematics
  C. Bandt