Open pit mine planning via a continuous optimization approach
Final Report Abstract
Im ersten Jahr des DFG Projektes wurden verschiedene Lösungsansätze auf Basis der Formulierung des Tagebauplanungsprobleems untersucht. Hierbei wurde auf unterschiedlichste mathematische Konzepte von klassischer Optimierung im Funktionenraum mit Lagrangemultiplikatoren bis zu Aussagen über den Verlauf lokaler Minima der Profilfunktionen mit Hilfe der Bifurkationstheorie zurückgegriffen. Leider lieferte keiner der Zugänge zufriedenstellende Ergebnisse. Die Reformulierung des Problems unter Verwendung eines Wechsels der Variablen liefert ein Optimalsteuerungsproblem bezüglich einer hyperbolischen Gleichung erster Ordnung. Insbesondere wurde die Stabilitätsbedingung an Tagebauprofile in dieser Formulierung konvex. Die verfügbare Theorie über Viskositätslösungen solcher Hamilton-Jacobi Gleichungen ermöglichte die Herleitung der Existenz von Lösungen des entsprechenden Problems. Allerdings ist die Kapazitätsnebenbedingung von nichtinkrementeller Natur und damit fällt das Tagebauplanungsproblem aus dem Rahmen der Probleme, die üblicherweise zum Beispiel im SPP 1253 betrachtet werden Unter zusätzlicher Regularität die beim Übergang zu parabolischen Hilfsproblemen gewonnen wird, konnte eine notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung hergeleitet werden. Hierbei wurde die H-J Gleichung durch eine quasilineare PDE's mit künstlichem Viskositätsterm ersetzt. Außerdem konnte eine gewisse Konvergenz von optimalen Lösungen der Hilfsprobleme bewiesen werden. Die Diskretisierung des Problems mit Hilfe der Linienmethode liefert ein Optimalsteuerungsproblem von ODE's mit Lipschitzstetiger rechter Seite. Die dabei normalerweise auftretende Ordnungsreduktion klassischer Integrationsmethoden wurde mit Hilfe von algorithmic piecewise differentiation vermieden. Die im Projekt entwickelten Ideen lassen sich zum Teil auf Optimierungsprobleme bezüglich Variationsungleichungen mit Differentialoperatoren erster Ordnung übertragen, was in Zusammenarbeit mit der Gruppe um Professor Hintermüller (insbesondere Dr. Carlos Rautenberg) weitergeführt werden soll. Die Ergebnisse des Projektes sind mehr theoretisch und weniger praktisch als ursprünglich angedacht. Der Projektmitarbeiter Strogies entwickelte zunächst eine Existenz- und Optimalitätstheorle im Funktionenraum bevor er die entsprechende Diskreditierirug und deren algorithmische Lösung in Angriff nahm. Die von ihm vorgeschlagene Interpretation als hyperbolische Evolutionsgleichung bezüglich der Grubentiefe ist recht originell und erlaubt den Rückgriff auf klassische Existenz- und Regularitätsaussagen. Diese Vorgehensweise ergab sich auch aus der engen Kooperation mit der Arbeitsgruppe Hintermüller. Die Behandlung der zeitabhängingen Kapazitätsbeschränkung erwies sich allerdings sowohl theoretisch wie auch algorithnüsch als wesentlich schwieriger als vorausgesehen. Formales Differenzieren ergibt zwar ein System von adjungierten Sensitivitätsgleichungen, ob diese jedoch hinreichend glatte Lösungen haben und wie deren Diskreditisierung gelöst werden kann ist unklar. Letztlich bleibt unentschieden ob nicht doch die Formulierung als Evolution der Profile bezüglich der Zeit günstiger ist. Dabei wird die Kapazistätsbeschränkung zu einer konvexen Kontrollbeschränkung, die Zustände unterliegen allerdings der in dieser Formulierung nichtkonvexen Stabilitätsbesschränkung. Erstaunlicherwelse haben wir in der Literatur keine vergleichbare Klasse von Optimierungsproblemen gefunden.
Publications
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A Continuous Framework For Open Pit Mine Planning, Mathematical Methods of Operations Research, Vol. 73(1), 2011, pp 29 - 54
Felipe Alvarez, Jorge Amaya, Andreas Griewank, Nikolai Strogies
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Duality results for stationary problems of open pit mine planning in a continuous function framework, Computational and Applied Mathematics, Vol. 30(1)(2011), pp 197 - 215
A. Griewank; N. Strogies
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A PDE constraint formulation of Open Pit Mine Planning Problems, Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 13(2013), pp 391 - 392
Nikolai Strogies, and Andreas Griewank
