Application of homotopy theoretic methods in algebraic geometry by means of generalized Deligne-Beilinson cohomology and cobordism
Final Report Abstract
Deligne-Beilinson-Kohomologie ist ein wichtiges Hilfsmittel zum Verständnis von algebraisch-geometrischen Objekten. Sie verbindet für eine Varietät, z.B. gegeben als die Nullstellenmenge von Systemen von Polynomen mit komplexen Zahlen als Koeffizienten, die geometrische Information holomorpher Differentialformen mit der globalen topologischen Information ganzzahliger Kohomologie. Denkt man sich eine Varietät als geometrisches Objekt durch seine Unterobjekte aufgebaut, durch sogenannte algebraische Zykel, so kann Deligne-Beilinson-Kohomologie dazu genutzt werden, diesen Aufbau genauer zu verstehen. Im Allgemeinen ist die Analyse dieser Unterobjekte sehr schwierig. In der algebraischen Topologie ist die durch einen Bordismus gegebene Relation zwischen Räumen und die dazugehörige Kohomologietheorie von fundamentaler Bedeutung. In meinem Projekt habe ich zusammen mit Michael J. Hopkins eine Theorie entwickelt, die die Idee der Deligne-Beilinson-Kohomologie verallgemeinert. Insbesondere ist es dadurch möglich, die besonderen Strukturen einer komplexen Varietät, die in der Hodge-Filtrierung ihrer Kohomologie gespiegelt werden, mit der umfassenderen topologischen Information des komplexen Bordismus des topologischen Raumes der Varietät zu verbinden. Für unsere Anwendungen haben wir eine Abbildung konstruiert, die jedem glatten Zykel einer glatten Varietät ein Element in dieser verallgemeinerten Theorie zuordnet. Allgemeiner haben wir dafür eine Abbildung vom neuen Deligne-Beilinson-Bordismus in den algebraischen Kobordismus von Levine und Morel entwickelt. Unser weiteres Ziel ist es, mit Hilfe dieser Abbildung ein besseres Verständnis der klassischen Abel-Jacobi-Abbildung und der Struktur von Zykeln für geeignete Varietäten zu gewinnen.
