Geschlechter arithmetischer Gruppen
Final Report Abstract
Die einklassigen Geschlechter arithmetischer Gruppen sind genau jene, für die das lokal-global Prinzip gilt. Bis auf Äquivalenz gibt es davon nur endlich viele. Ziel des Projektes war es daher, die einklassigen Geschlechter arithmetischer Gruppen über Zahlkörpern zu bestimmen. Wichtige algebraische Gruppen sind sicherlich die orthogonalen Gruppen. Für diese hat Watson in den 60ern und 70ern die einklassigen Geschlechter über den rationalen Zahlen bestimmt, mit Ausnahme der Dimensionen 4 und 5. Diese Klassifikation wurde im Rahmen des Projektes nun verifiziert und in den noch verbliebenen Dimensionen vervollständigt. Über beliebigen Zahlkörpern wurden alle einklassigen Geschlechter bestimmt, falls diese maximal ganz bzw. unimodular oder ternär sind. Im Fall unimodularer Gitter waren die lokalen Dichten in Siegels Maßformel nicht in allen Fällen bekannt. Daher wurden diese im Rahmen dieses Projekts explizit bestimmt. Bei den ternären Gittern wurde eine Korrespondenz zwischen quadratischen Formen und Quaternionenordnungen ausgenutzt. Dabei wurden zum ersten Mal alle solche Ordnungen mit Typ- bzw. Idealklassenzahl 1 vollständig beschrieben. Bei den exzeptionellen algebraischen Gruppen sind einklassige Geschlechter sehr selten. So lässt einzig G2 noch einklassige Geschlechter parahorischer Gruppen zu.
Publications
- Single-class genera of positive integral lattices, LMS J. Comput. Math. 16:172–186, 2013
M. Kirschmer und D. Lorch
(See online at https://doi.org/10.1112/S1461157013000107) - One-class genera of maximal integral quadratic forms, Journal of Number Theory 136C:375–393, 2014
M. Kirschmer
(See online at https://doi.org/10.1016/j.jnt.2013.10.007)
