Reduzierte Basis-Methoden für zeit-periodische quadratisch-nichtlineare parabolische Probleme
Final Report Abstract
Im Rahmen des Projektes wurde zunächst ein Fixpunkt-basiertes Verfahren zur Lösung zeitperiodischer Lösungen quadratisch-nichtlinearer parabolischer Probleme entwickelt, analysiert und realisiert. Die bewiesene Fehlerabschätzung war zwar einerseits zufriedenstellend, weil sie nicht schlechter als bis dato bekannte Abschätzungen für parabolische Anfangswertprobleme war. Andererseits ist aber die - übliche - Summation der Fehler pro Zeitschritt besonders bei zeit-periodischen Problemen unerfreulich, da die Periodizität durch Fehlersummation verletzt werden könnte (und in der Praxis auch tatsächlich wird). Man beachte, dass die Fehlerschranke exponentiell in der Zeit wachsen kann, selbst wenn das ursprunggleiche Problem stabil ist. Daher schlugen wir eine alternativen Formulierung des Problems (sowohl zeit-periodisch als auch Anfangswertproblem) vor, die eine Fehlerschätzung erlaubt, die nicht mit der Zeit wächst. Dies ist tatsächlich gelungen durch Betrachtung von Raum-Zeit-Variationsformulierungen parabolischer Probleme. Es wurde ein Fehlerschätzer konstruiert, der für die Wärmeleitungsgleichung sogar exakt ist in dem Sinne, dass Fehler und Residuum übereinstimmen. Weiter konnte gezeigt werden, dass die Raum-Zeit-Variationsformulierung bei geschickter Wahl der Ansatz- und Testräume mit dem wohlbekannten Crack-Nicholson-Verfahren übereinstimmt. Durch die Betrachtung von Raum-Zeit-Variationsformulierungen konnte ein analytisches Tool entwickelt werden, welches zu Fehlerschätzern führt, die exakt das Stabilitätsverhalten der ursprunggleichen Gleichung widerspiegeln. Dadurch war es nun auch möglich, eine bis dahin als nicht überwindbar geltende prinzipielle Schwierigkeit bei RBM zu überwinden: Ist die Lösung einer parametrischen partiellen Differenzialgleichung (PPDE) etwa eine zeitlich bewegliche Welle mit konstanter Front, war stets das Argument, dass man das volle Gitter benötigen würde, um diese Funktion in RBM darstellen zu können. Für die Burger-Gleichung in und später auch für die Boussinesq-Gleichung wurde die Effizienz der neuen Methode (mit nur einer Basisfunktion) nachgewiesen. Im nächsten Schritt haben wir die Raum-Zeit-Fehlerschätzer auf zeit-periodische Probleme übertragen. So war es auch möglich, die Fixpunkt-Iteration durch einen Raum-Zeit-Ansatz zu ersetzen. Die Fehlerschätzer sind wiederum scharf wie bei Anfangswertproblemen. Hinsichtlich der Bestimmung optimaler Samples haben wir alternativ zu bekannten Greedy-Strategien ein nichtlineares Optimierungsproblem formuliert und realisiert. Wir haben dort nicht den Fehlerschätzer, sondern das Residuum als Zielfunktional der nichtlinearen Optimierung verwendet. Hierfür haben wir Optimierungskriterien erster und zweiter Art formuliert, bewiesen und dann mit einem projizierten Gradienten-Verfahren realisiert. Je nach Anwendungsbeispiel konnten die Anzahl der Funktionsaufrufe erheblich reduziert werden. Schließlich haben wir den Einfluss stochastischer Störungen untersucht.
Publications
- A new error bound for Reduced Basis approximation of parabolic partial diflferential equations. C.R. Acad. Sci. Paris Series I, 350(3-4):203-207, 2012
Karsten Urban and Anthony T. Patera
(See online at https://doi.org/10.1016/j.crma.2012.01.026) - A Space-Time Certified Reduced Basis Method for Burgers' Equation. Preprint, 2012
Masayuki Yano, Anthony T. Patera, and Karsten Urban
(See online at https://dx.doi.org/10.1142/S0218202514500110) - An Improved Error Bound for Reduced Basis Approximation of Linear Parabolic Problems. 2012, Math. Comput.
Karsten Urban and Anthony T. Patera
(See online at https://doi.org/10.1090/S0025-5718-2013-02782-2) - Greedy Sampling using Nonlinear Optimization. Preprint, 2012
Karsten Urban, Stefan Volkwein, and Oliver Zeeb
(See online at https://doi.org/10.1007/978-3-319-02090-7_5) - Reduced Basis Methods for Parameterized Partial Differential Equations with Stochastic Influences Using the Karhunen-Loeve Expansion. 2012, SIAM/ASA J. Uncert. Quant.
Bernard Haasdonk, Karsten Urban and Bernhard Wieland
(See online at https://doi.org/10.1137/120876745) - Space-Time Reduced Basis Methods for Time-Periodic Parametric Differential Equations. Preprint, 2012
Kristina Steih and Karsten Urban
(See online at https://doi.org/10.3182/20120215-3-AT-3016.00126) - Space-Time Reduced Basis Methods for Time-Periodic Partial Differential Equations. 2012. Proceedings of MATHMOD 2012 - 7th Vienna International Conference on Mathematical Modelling, Vienna, February 15-17, 2012
Kristina Steih and Karsten Urban
(See online at https://doi.org/10.3182/20120215-3-AT-3016.00126)
