Microlocal Analysis and Complex Geometry

• Antragsteller: Professor Dr. George Teodor Marinescu
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2010 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 188691369

Die Frage, ob Wellen oder Teilchen am besten geeignet sind, physikalische Phänomene wie Strömungs-, Gas- oder Lichtausbreitung zu beschreiben, gehört seit Beginn der wissenschaftlichen Forschung zu den zentralen Themen der Wissenschaft. Die Mikrolokale Analysis entwickelt eine geometrische Herangehensweise, um die asymptotische Analysis zu behandeln, und bringt die Methoden der Wellenanalysis (Fresnels Beschreibung des Lichts) mit der Teilchenanalysis (geometrische Optik) in Einklang.Die Komplexe Geometrie studiert andererseits fundamentale geometrische Objekte, wie etwa die Nullstellenmengen von Polynomen improjektiven Raum. Sie liegt im Schnittbereich von Differentialgeometrie und Algebraischer Geometrie und hat viele Anwendungen in der Stringtheorie.Ziel dieses Projektes ist die Anwendung mikrolokaler Methoden zur Lösung von Problemen aus der Komplexen Geometrie, die auch von physikalischem Interesse sind (Morse-Ungleichungen, Toeplitz-Operatoren, geometrische Quantisierung). Konkret befasst sich das Projekt mit semiklassischer Asymptotik von Bergman- und Szegö-Kernen N-facher Tensorprodukte holomorpher Linienbündel für große N. Diese Kerne sind die gerade reproduzierende Kerne von Projektoren im Raum der holomorphen Schnitte.Fasst man sie unter physikalischen Gesichtspunkten auf, entsprechen sie den Projektoren auf dem niedrigsten Landau-Level eines Partikels in einem Magnetfeld. Der Bergman-Kern ist dann die Dichte der Zustände. Wir setzen voraus, dass das Magnetfeld eine Diracsche Quantisierungsbedingung erfüllt, d.h. dass das Magnetfeld als Krümmung eines Linienbündels aufgefasst werden kann. Wir betrachen ein um den Faktor N vergrößertes Magnetfeld, also folglich N-fache Tensorprodukte des Linienbündel. Die Asymptotik der Kerne sind Entwicklungen im Potenzen von N, deren Koeffizienten Informationen über die Krümmung der zu Grunde liegenden Mannigfaltigkeit besitzen.Ein Ziel dabei ist die Lösung der Ramadanov-Vermutung, welche besagt, dass eine Hyperfläche in einer komplexen Mannigfaltigkeit äquivalent zu einer Sphäre sein sollte genau in dem Fall, dass ein bestimmter Term in der Erweiterung des Szegö-Kerns verschwindet.Ein anderes Ziel ist eine Erweiterung der Berezin-Toeplitz-Quantisierung auf die Fälle, in denen Linienbündel mit singulärer hermitescher Metrik gegeben sind. Diese Fälle tauchen in der algebraischen Geometrie in natürlicher Weise auf. Dem zur Folge können wir dann eine größere Klasse von Phasenräumen als nur projektive Räume quantisieren. Ein anderes Ziel ist die Einführung der Berezin-Toeplitz Quantisierung auf allgemeinen symplektischen (d.h. nicht-Kähler) Mannigfaltigkeiten, in dem wir die Projektion auf das Spektrum der kleinen Eigenwerte (d.h. beschränkte Zustände) eines geeigneten Hamilton-Operators benutzen. Die Nullstellenmenge generischer Schnitte in diesem Spektrum sollten symplektische Untermannigfaltigkeiten sein, welches uns einen neuen Zugang den Struktursätzen von Donaldson anbietet.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen