Numerical techniques for the simulation of complex biomechanical processes
Mechanics
Final Report Abstract
Die oft vorhandene Dominanz von advektiven und reaktiven Prozessen in chemischen und biochemischen Transportproblemen führt bei der Berechnung mit gebräuchlichen numerischen Verfahren zu Oszillationen in der Lösung. Starke Gradienten bilden sich im zu berechnenden Gebiet und an Dirichletrandern aus, welche nicht korrekt durch die Diskretisierung (zum Beispiel mit Finiten Elementen) aufgelöst werden können. Stabilisierungsmethoden wie das Streamline-Upwind Petrov-Galerkinverfahren können das Auftreten von Oszillationen verhindern, sind jedoch nicht in allen Fällen erfolgreich. Die Generalized Finite Element method, und damit auch die XFEM, bieten die Möglichkeit den Gradientenverlauf im Inneren der Elemente durch diskontinuierlich angereicherter Ansatzfunktionen zu approximieren. Nach Implementierung dieses Ansatzes lässt sich hinsichtlich der Anwendung der XFEM auf Transportprobleme mit Reaktion festhalten, dass sich die Umsetzung sehr schwierig gestaltet. Die Anforderungen an die genaue Lokalisierung der auftretenden starken Gradienten lässt Zweifel an den Möglichkeiten einer effizienten Implementierung dieser Methode für allgemeine komplexe Advektions-Diffusions-Reaktionsprobleme aufkommen. Das Frakturheilungsmodell wurde in der zweiten Förderphase erfolgreich um die mechanische Simulation der Stammzellen erweitert. Die so entstandene umfassende Knochenheilungssimulation wurde am Modell einer Mittelfußknochenfraktur eines Schafs erprobt und einer systematischen Parameterstudie unterzogen. Die so erlangten Erkenntnisse über den Einfluss der einzelnen biochemischen Mechanismen zeigten, dass bestimmte Teile des mathematischen Modells nicht oder kaum zum simulierten Heilungsprozess beitrugen. Hierdurch ist es nun möglich ein reduziertes und damit numerisch vereinfachtes Modell vorzuschlagen. Weiterhin können die gewonnenen Erfahrungen zur Untersuchen anderer Aspekte der Knochenentwicklung und -heilung dienen, wie zum Beispiel zu einer detaillierteren Betrachtung des Einwachsens einer Hüftendoprothese. Zusammenfassen ist festzuhalten, dass das FIC-stabilisierte TDG-Verfahren nach den Erfahrungen der Sachbearbeiter derzeit das robusteste Verfahren zur Lösung nichtlinear gekoppelter Advektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen ist. Mittels parametrischer Sensitivitätsanalysen kann eine Modellreduktion des in der Literatur vorgeschlagenen bio-regulatorischen Frakturheilungsmodells vorgeschlagen werden. Da die meisten advektiven Anteile sich von untergeordneter Bedeutung erwiesen haben, können deutlich effizientere numerische Lösungsverfahren eingesetzt werden. Bezüglich der mechanischen Stimulanz wurde die Bedeutung der hydrostatischen Anteile untermauert. Allerdings bleibt das Modell vielparametrisch, wobei die Modellparameter häufig aus Experimenten in einer für die Zellen unnatürlichen Umgebung abgleitet werden. Diesbezüglich wird angeregt, die numerischen Studien mittels moderner stochastischer Methoden zielgerichtet fortzuführen.
Publications
- A combined FIC-TDG finite element approach for the numerical solution of coupled advection-diffusion-reaction equations with application to bioregulatory model for bone fracture healing. Int. J. Numer. Meth. Engng. 2012;92:301–317
Sapotnick A., Nackenhorst U.
(See online at https://doi.org/10.1002/nme.4338) - A Finite Element Approach for the Mechanically Stimulated Bone Fracture Healing Model, Proc. of XLI International Summer School–Conference APM, St. Petersburg, Russia, 2013
Sapotnick, A., Nackenhorst, U.
- A Mechanically Stimulated Fracture Healing Model Using a Finite Element Framework. In: Lenarz T., Wriggers P. ed. Biomedical Technology Heidelberg: Springer 2014, pp. 41–53
Sapotnick A., Nackenhorst U.
- Investigation of a Finite Element Solution for a Mechanically Stimulated Bone Fracture Healing Model, Proc. WCCM XI, 2014
Sapotnick, A., Nackenhorst, U.
- On a Finite Element Approach for the Solution of a Mechanically Stimulated Biochemical Fracture Healing Model, Dissertation, Leibniz Universitat Hannover, 2015
Sapotnick, A.
