Geometrische Ungleichungen in Analysis und Integralgeometrie
Final Report Abstract
Ziel des Projektes war es, Ungleichungen vom Sobolevtyp sowie geometrische Ungleichungen mit Methoden der Integralgeometrie, der Differentialgeometrie und der Analysis zu untersuchen. Die Schwerpunkte des Projektes waren: 1. Herleitung und Analyse geometrischer Ungleichungen in komplexen und hermiteschen Vektorräumen. 2. Bestimmung optimaler Konstanten sowie die Charakterisierung extremaler Körper und extremaler Punktionen für geometrisch motivierte Ungleichungen. 3. Ungleichungen vom Sobolev- und Polya-Szegö-Typ, inklusive Charakterisierung der Gleichheitsfälle. Zu 1. wurde eine Aleksandrov-Fenchel-Typ Ungleichung für hermitesche intrinsische Volumina der Grade 2 und 3 hergeleitet. Die Herleitung dieser Ungleichungen ist ein wichtiger Schritt in der hermiteschen Integralgeometrie, da bis jetzt keine Ungleichungen für hermitesche intrinsische Volumina bekannt waren. Die Ideen in dieser Arbeit erlauben es weiterhin, einen Satz vom Aleksandrov-Typ für hermitesche intrinsische Volumina vom Grad 2n — 2 herzuleiten und daraus eine isoperimetrische Ungleichung zwischen einem hermiteschen intrinsischen Volumen und dem Volumen zu bekommen. Die Hauptschwierigkeit, um isoperimetrische Ungleichungen im Allgemeinen herzuleiten, ist das Fehlen einer geeigneten Newton-Maclaurin Ungleichung für die polynomialen Funktionen, die mit einem hermiteschen intrinsischen Volumen assoziiert sind. Ein wichtiges Ziel dieses Projektes, das zwischen 1. und 2. liegt, bestand darin, eine komplexe Version des Projektionenkörpers zu definieren und zu charakterisieren. Eine solche Klassifikation wurde durchgeführt und eine Reihe geometrischer Ungleichungen vom isoperimetrischen Typ für die neu definierten Operatoren gegeben. Der Projektionenkörper ist eine kontravariante Minkowskibewertung. Eine Klassifikation für kovariante Minkowskibewertungen wurde ebenfalls bewiesen. Isoperimetrische Probleme in normierten Vektorräumen wurden betrachtet. In diesem Rahmen wurde eine neue Volumendefinition, die konvex ist und in Dimension 2 mit dem Busemannvolumen übereinstimmt, eingeführt. Weiterhin wurde gezeigt, dass die neue Volumendefinition genau dann immer größer ist als Busemanns Volumen, wenn die bekannte Projektionenvermutung von Petty richtig ist. Dies liefert einen neuen Zugang zum Studium dieser Ungleichung, der in Zukunft noch genauer untersucht werden soll. Weiterhin wurde ein Zusammenhang zwischen der Lösung des isoperimetrischen und des dualen isoperimetrischen Problems hergeleitet. Die in 3. gestellten Probleme zu affin-invarianten Sobolevungleichungen wurden während der Laufzeit des Projektes, aber davon unabhängig, in einer Dissertation an der TU Wien größtenteils beantwortet. Innerhalb des Projektes wurde hingegen eine Resttermabschätzung für eine fraktionale Sobolevungleichung bewiesen, welche auf eine Frage von Brezis und Lieb zurückgeht.
Publications
- Projection bodies in complex vector spaces. Adv. Math., 227(2):830-846, 2011
Judit Abardia and Andreas Bernig
- Difference bodies in complex vector spaces. J. Funct. Anal., 263(11): 3588-3603, 2012
Judit Abardia
- Remainder terms in the fractional Sobolev inequality, Indiana Univ. Math. J., Indiana University Mathematics Journal, Vol. 62, No. 4 (2013), pp. 1381-1397
Shibing Chen, Rupert L. Frank and Tobias Weth
- Aleksandrov-Fenchel inequalities for unitary valuations of degree 2 and 3
Judit Abardia and Thomas Wannerer
- Centroid bodies and the convexity of area functionals, J. Diff. Geom., Journal of Differential Geometry, Volume 98, Number 3 (2014), 357-373
Andreas Bernig
(See online at https://dx.doi.org/10.4310/jdg/1406552275) - Minkowski valuations in a 2-dimensional complex vector space. Int. Math. Res. Not.; Advance Acces
Judit Abardia
(See online at https://doi.org/10.1093/imrn/rnt251) - The isoperimetrix in the dual Brunn-Minkowski theory. Adv. in Math., 254:1-14, 2014
Andreas Bernig
(See online at https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.12.020)
