Stochastic calculus for fractional Lévy processes and related processes
Final Report Abstract
Fraktionale Lévy Prozesse und verwandte Prozesse, die durch Faltung eines deterministischen Kerns mit einem Lévy-Prozess konstruiert werden, können zur Modellierung von Systemen herangezogen werden, die einerseits ein Langzeitgedächtnis aufweisen und bei denen andererseits extreme Ereignisse häufiger auftreten als in Modellen, die auf einer Normalverteilungsannahme beruhen. Möchte man solche Prozesse als Rauschquelle verwenden, ist die Entwicklung eines stochastischen Integrationskalküls für diese Klasse von Prozessen unumgänglich. In diesem Projekt haben wir zunächst einen geeigneten Integralbegriff eingeführt, der im Spezialfall von klassischen Lévy-Prozessen und im Fall einer fraktionalen Brownschen Bewegung und verwandter Gaußscher Prozesse mit den dort verwendeten Itō- bzw. Skorokhod-Integralen übereinstimmt. Sowohl zum besseren theoretischen Verständnis als auch für Anwendungen kommen Regeln zur Berechnung derartiger Integrale eine wesentliche Bedeutung zu. Als eines der Hauptresultate dieses Projektes haben wir eine Verallgemeinerung der Itō-Formel (Substitutionsregel) für stochastische Integrale bezüglich der obigen Prozessklasse hergeleitet. Diese Formel hat vereinheitlichenden Charakter insofern, dass sie die klassischen Itō-Formeln für Lévy-Prozesse und Gaußsche Prozesse als Spezialfälle enthält. Zudem gelingt es mit dieser Formel erstmals auch den in der Literatur zunehmend wichtiger werdenden Fall von fraktionalen Lévy-Prozessen abzudecken. Als Anwendung der in diesem Projekt entwickelten Integrationstheorie haben wir Integraldarstellungen für gewisse verallgemeinerte fraktionale Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse hergeleitet, die es erlauben, in der Finanzmathematik populäre Volatilitätsmodelle mit Gedächtniseffekt anzureichern. Eine weitere Anwendung im Bereich der Finanzmathematik betrifft die Bewertung von Optionen unter Transaktionskosten in Modellen, die von fraktionalen Lévy Prozessen getrieben werden.
Publications
- Itō's formula for Lévy-driven Volterra processes
C. Bender, R. Knobloch
- Sticky continuous processes have consistent price systems. AppI. Probab.
C. Bender, M. Pakkanen, H. Sayit
- Maximal inequalities for fractional Lévy and related processes
C. Bender, R. Knobloch, P. Oberacker
