Methoden der Abbildungsgradtheorie für dynamische Systeme und partielle Differentialgleichungen
Final Report Abstract
Das Projekt besteht aus einem theoretischen Teil und zwei Klassen von Anwendungen der Theorie auf konkrete Differentialgleichungen. Der theoretische Teil ist die Entwicklung einer Abbildungsgradtheorie für Probleme der Gestalt F ( x ) ∈ Ψ ( x ), also einer Große, die in gewissem Sinne die „Anzahl“ (mit „Vielfachheiten“, die auch negativ sein können) der Lösungen x dieser Inklusion zahlt, und die zugleich unter gewissen Homotopien der Abbildungen F und Ψ unverändert bleibt. Dadurch können komplizierte Gleichungen dieser Art auf einfachere zurückgeführt werden. Die zugehörige Theorie wurde in einer Monographie erarbeitet, die auch fur Nicht-Experten zugänglich sein sollte. Tatsächlich ist die Monographie weitgehend eigenständig und deckt inhaltlich fast die Theorie eines Analysis-Kurses ab, enthalt aber weiterführende Ergebnisse und Verallgemeinerungen und teilweise elegante neue Beweise aufgrund des sehr allgemeinen Zugangs. Die Monographie enthält auch weitere neue Ergebnisse, die für sich genommen interessant sind, wie eine Theorie der Orientierung in Banachbündeln oder einen Satz über die Approximation beliebiger Abbildungen durch stetige, der als Speziallfall Fortsetzungsergebnisse für ein- und mehrwertige Abbildungen beinhaltet. Desweiteren finden sich dort Beweise von Folklore-Ergebnissen, wie ein geometrischer Zugang zum Brouwer-Abbildungsgrads auf (nur) C^1-Mannigfaltigkeiten oder sehr allgemeine Varianten des Satzes über implizite Funktionen. Probleme der vorher beschriebenen Gestalt erhält man bei nichtlinearen Evolutionsgleichungen u′ (t) = Au(t) + f (t, u(t)), t>0 mit nichtlinearen Randbedingungen wie etwa F (u(0)) = G (u( T)). Als spezielle Beispiele solcher (und allgemeinerer) Randwertprobleme wurde ein ”Prinzip des riesigen Wachstums“ bei Reaktions-Diffusionssystemen ∂u(t, x )/∂t = D∆u + f (t, x, u(t, x )) + g(t, x, u(t, x )), t > 0, x ∈ Ω, ∂u/ ∂n = 0 auf ∂Ω, untersucht sowie nichtlineare Varianten der Alterspopulationsgleichungen von McKendrick/von Forster: Letztere sind mit topologischen Methoden wie dem Abbildungsgrad scheinbar besonders schwer zugänglich, da die benötigte Kompaktheit in der funktionalanalytischen Formulierung zunächst fehlt. Die zweite Klasse von Anwendungen von Abbildungsgradtheorie betrifft Hindernisprobleme bei Reaktions-Diffusionssystemen, die dem sog. Turing-Effekt unterliegen, der möglicherweise sogar eine Erklärung von Morphogenese liefern könnte. Ein Hindernis ist dabei z. B. eine Quelle, etwa eine Zelle, die erst dann aktiv wird, wenn die Konzentration einer bestimmten Substanz ein Äquilibrium unterschreitet. Besonders interessant ist hierbei die Beobachtung, dass ein solches Hindernis den Turing-Effekt verstärken und damit zur Musterbildung (also letztlich zur Morphogenese) beitragen kann. Die erzielten Ergebnisse sind allerdings für eine viel größere Klasse von Hindernisproblemen anwendbar, insbesondere auch auf elliptische Probleme mit Hindernissen. Außerdem wurde gezeigt, dass Ergebnisse, die mit Abbildungsgradmethoden erzielt wurden, automatisch für mathematisch höchst unterschiedliche Modellierungen der Hindernisse anwendbar sind, etwa Hindernisse, für die im Modell gewisse physikalische Beschränkungen berücksichtigt sind: Mathematisch heißt dies, dass man für gewisse mehrwertige Abbildungen erstaunlicherweise den selben Abbildungsgrad erhält wie für eine operatorentheoretische Formulierung einer Variationsungleichung.
Publications
- Calculation of degree and global bifurcation for variational inequalities with nonsymmetric operators in Banach spaces, Ann. Mat. Pura Appl. (2012), 1–25
Väth, M.
(See online at https://doi.org/10.1007/s10231-012-0275-9) - Topological analysis. From the basics to the triple degree for nonlinear Fredholm inclusions, de Gruyter, Berlin, New York, 2012
Väth, M.
- A general degree for function triples, Topol. Methods Nonlinear Anal. 41 (2013), no. 1, 163– 190
Väth, M.
- Evolution problems with nonlinear nonlocal boundary conditions, J. Dynam. Differential Equations 25 (2013), no. 2, 477–503
Benedetti, I., Taddei, V., and Väth, M.
