Finite Elemente Diskretisierungen stationärer Strömungen mit impliziter potenzartiger Rheologie
Final Report Abstract
Gegenstand des Forschungsprojekts ist die Entwicklung stabiler, konvergenter und zuverlässiger Galerkin Finite Elemente Approximationen für stationäre Strömungen von Flüssigkeiten mit impliziter potenzartiger Rheologie. Das heißt wir wollen Lösungen (u, p, S) von Differentialgleichungen der Form div(u ⊗ u + p1 − S) = f in D (Ω), div u = 0, (Du(x), S(x)) ∈ A(x) für fast alle x ∈ Ω, mittels einer Finiten Elemente Diskretisierung approximieren. Hierbei ist zu beachten, dass das Verhältnis von Scherspannung S zur Scherrate Du des Fluids nur über ein implizites Gesetzt gegeben ist, das in einem maximal monotonen q-Graphen A(x) seinen Ausdruck findet. Als Basis für den Finite Elemente Ansatz dient uns eine regularisierte Störung des ursprünglichen Problems. Die Störung ist Parameterabhängig und verschwindet im Zuge eines Grenzwertprozesses in dem auch die Gitterweite der Gebietszerlegung reduziert wird. Wir konnten zeigen, dass innerhalb dieses Grenzwertprozesses eine Teilfolge von Finite Elemente Approximationen existiert, die schwach gegen eine Lösung des ursprünglichen Problems konvergiert. Dieses Resultat basiert auf einer neuen Lipschitz Abschneidetechnik für Finite Elemente Funktionen. Die a posteriori Analyse der Finite Elemente Diskretisierung wurde begonnen und konkrete Konzepte und Fragestellungen für Numerische Simulationen entwickelt. Das Projekt war von vornherein umfangreicher auf eine längerfristige Zusammenarbeit mit Endre Süli ausgelegt. Eine Weiterführung ist geplant. Wärend des Forschungsaufenthalts wurden noch zwei weitere Arbeiten fertig gestellt. Es handelt sich hierbei um die a posteriori Analyse von zeitabhängigen parabolischen Problemen mit potenzartiger Rheologie und einer Arbeit zu diskreten maximum Prinzipien für nichtlineare partielle Differentialgleichungen.
Publications
- Finite element approximation of steady flows of incompressible fluids with implicit power-law-like rheology, Numerical Analysis Technical Report No. 1509, University of Oxford, 2012
L. Diening, C. Kreuzer, and E. Süli
