Anwendungen von "Variational Analysis" in Optimierung und nichtlinearen Gleichungssystemen
Final Report Abstract
Im Förderungszeitraum wurden Arbeiten zu drei verschiedenen Themengebieten durchgeführt, bei denen jeweils intensiv die Methoden der variational analysis zum Einsatz kamen, und die sich somit insbesondere unter der gemeinsamen Überschrift Anwendungen von variational analysis in Optimierung und nichtlinearen Gleichungssystemen vereinen lassen. Zunächst wurden nichtglatte Newton-Verfahren untersucht, die letztlich der Versuch sind, die Ideen des sehr populären klassischen Newton-Verfahrens auf Funktionen zu übertragen, bei denen die traditionelle Voraussetzung der stetigen Differenzierbarkeit verletzt ist. Insbesondere wurde gemeinsam mit Hung Phan (Kelowna), Boris Mordukhovich (Detroit) und Christian Kanzow (Würzburg) an einer Globalisierung des von uns eingeführten Verfahrens gearbeitet. Als zweiter Themenkomplex wurden mathematical programs with vanishing constraints (MPVCs) betrachtet. Diese theoretisch und numerisch schwierige Problemklasse ist aus Sicht der Anwendungen interessant, da sie als formaler Rahmen z.B. für Probleme der Strukluroptimierung, oder in der Robotik dient. Im Rahmen des Stipendiums wurde gemeinsam mit Wolfgang Achtziger (Erlangen) und Christian Kanzow (Würzburg) ein Relaxierungsverfahren zur numerischen Lösung von MPVCs betrachtet. Die Grundidee besteht hierbei darin das schwierige Ausgangsproblem durch eine Folge von weniger schwierigen (relaxierten) Problemen zu approximieren mit dem Ziel, so auch die Lösungen des Ausgangsproblem zumindest approximativ zu erhalten. Das Verfahren wurde sowohl theoretisch untersucht als auch numerisch an Problemen der Stabwerksoptimierung getestet. Das dritte Themengebiet waren Glättungsfunktionen, welche im Allgemeinen dazu dienen nichtdifferenzierbare (und evtl. erweitert-reellwertige) zu glätten, d.h. (stetig) differenzierbar (und reellwertig) zu approximieren und so auch kritische Punkte der Ausgangsfunktion anzunähern. Gemeinsam mit James V. Burke (Seattle) und Christian Kanzow (Würzburg) wurden zwei verschiedene Glättungstechniken untersucht: Zunächst betrachteten wir Glättungsfunktionen, die durch sogenannte Faltung mit speziellen Dichtefunktionen entstehen. Ferner wurde die sogennante infimale Faltung zur Glättung nichtglatter, konvexer Funktionen verwendet, wobei es gelang die bereitgestellten Hilfsmittel über die Grenzen der Konvexität hinaus anzuwenden.
