Error control and adaptive methods for the sensitivity error for large geometry changes based on exact variational formulations
Final Report Abstract
Die numerische Simulation spielt heutzutage in vielen natur- und ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen eine wichtige Rolle. Neben der klassischen Analyse wird häufig das Verhalten bei Designänderungen untersucht. Wichtige Anwendungen sind beispielsweise die Strukturoptimierung, Zuverlässigkeitsanalysen oder Parameterstudien. Die Sensitivitätsanalyse (Empfindlichkeitsanalyse) ist hierbei eine zentrale Aufgabe bei der Lösung dieser Probleme. Sie liefert eine Aussage über die Änderung der Strukturantwort bei Änderung von Eingangsgrößen (Designänderungen). Hierfür werden fast ausschließlich Sensitivitätsbeziehungen 1. Ordnung verwendet, welche jedoch bei großen Designänderungen nur eine grobe Näherung für die tatsächliche Änderung der Strukturantwort liefern. Bei der Sensitivitätsanalyse für große Designänderungen hat man es mit zwei wichtigen Fehlerquellen zu tun: zum einen den Approximationsfehler (Fehler aufgrund der Approximation 1. Ordnung), zum anderen den Diskretisierungsfehler (Fehler aufgrund der Diskretisierung und Lösung mit numerischen Verfahren). Im Rahmen dieses Projektes wurde die Kombination beider Fehleranteile untersucht. Zur Bestimmung des Diskretisierungsfehlers kann auf bekannte Methoden aus der Literatur zurückgegriffen werden. Der Approximationsfehler enthält die unbekannte exakte Änderung der Strukturantwort infolge von gegebenen Designänderungen. Um die Fehlergleichung auswerten zu können, muss eine möglichst gute Näherung der wahren Änderung bestimmt werden. Hierfür wurden zwei Verfahren untersucht. Eine Möglichkeit ist eine Taylorreihen-Darstellung mit exaktem Integralrest. Dieser Ansatz ist mathematisch konsistent, jedoch ist die praktische Anwendung mit einigen Nachteilen verbunden. Als weiteres Konzept wurde die Verwendung von Re-Analyse-Verfahren untersucht. Es hat sich gezeigt, dass bekannte Verfahren (speziell bei nichtlinearen Problemen) für diese Aufgabe nicht effizient genug sind. Es wurde somit zunächst notwendig, diese Problematik nachhaltig zu beseitigen. Als ein zentrales Forschungsergebnis wurde im Rahmen dieses Projektes ein neues Re-Analyse-Verfahren (RIA Methode) für nichtlineare Probleme formuliert. Dieses basiert auf der Darstellung des Residuums des betrachteten Problems mit Hilfe der exakten Inkremente bzgl. der Verschiebungs- und Designänderungen. Letztendlich führt dieser Ansatz zu einem iterativen Verfahren zur Bestimmung der Änderung der Verschiebung infolge gegebener großer Designänderungen. Das vorgeschlagene Verfahren beruht auf einer lokalen Approximation und besitzt somit einen begrenzten Konvergenzradius. Zur Steigerung der Genauigkeit bei sehr großen Designänderungen wurde zusätzlich eine Verbesserung durch Verwendung von rationalen Approximationen entwickelt (RIA* Methode). Ohne einen nennenswerten numerischen Mehraufwand konnte hiermit die Genauigkeit signifikant gesteigert werden. Zusammenfassend lassen sich die Vorteile des vorgeschlagenen Re-Analyse-Verfahrens wie folgt zusammenfassen: Das Verfahren ist sehr effizient, da im Gegensatz zu anderen Re-Analyse-Verfahren nur Residuenvektoren und keine geänderten Steifigkeitsmatrizen berechnet werden müssen. Numerische Tests haben gezeigt, dass die Änderung im Verschiebungsfeld infolge relativ großer Designänderungen mit sehr hoher Genauigkeit bestimmt werden kann. Damit ist es möglich die Fehlergleichung für den Approximationsfehler effizient auszuwerten. Das Verfahren ist sehr allgemein und kann für beliebige Designvariablen und Problemklassen verwendet werden. Des Weiteren lässt sich der Lösungsalgorithmus sehr leicht in bestehende FEM-Programme implementieren. Die numerischen Untersuchen wurden für das Modellproblem der nichtlinearen Elastizitätstheorie durchgeführt. Die Anwendbarkeit des entwickelten Re-Analyse-Verfahrens ist nicht auf dieses Modellproblem und die Untersuchung des Fehlers bei Sensitivitätsanalysen beschränkt. Viele komplexe Fragestellungen lassen sich nur mit erheblichem numerischen Aufwand lösen, wie z.B. multiphysikalische Probleme oder Multi-Skalen-Analysen. Ein effizientes Re-Analyse-Verfahren kann hierbei den numerischen Aufwand deutlich reduzieren.
Publications
- Variational design sensitivity analysis of dual problems in nonlinear elasticity with applications to error analysis of first-order adjoint sensitivity relations. In congress proceedings: 10th HSTAM International Congress on Mechanics, Technical University of Crete, 2013. ISBN 124-7485-789679- 567-3
Materna, D. and Kalpakides, V. K.
- Reanalysis for design modifications based on residual increment approximations. In congress proceedings: OPT-i - International Conference on Engineering and Applied Sciences Optimization, pages 2391–2406, Institute of Structural Analysis and Antiseismic Research, University of Athens, Greece, 2014. ISBN 978-960-99994-6-5
Materna, D. and Kalpakides, V. K.
- Nonlinear reanalysis for structural modi¿cations based on residual increment approximations, Computational Mechanics, January 2016, Volume 57, Issue 1, pp 1–18
Materna, D. and Kalpakides, V. K.
(See online at https://doi.org/10.1007/s00466-015-1209-3)
