Seltsame invariante Graphen und Verzweigungen in Schiefproduktsystemen mit chaotischer Basis

• Applicant: Professor Dr. Gerhard Keller
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2011 to 2017
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 210674535

• Final Report Year: 2016

Final Report Abstract

Wesentliche qualitative Änderungen in der Langzeitdynamik chaotisch angeregter dynamischer Systeme sind häufig auf „Kollisionen” invarianter Teilmengen und/oder invarianter Maße der Dynamik zurückzuführen. In diesem Projekt wurde diese vage Idee an ausgewählten Beispielen mit vorwiegend eindimensionalen nichtlinearen Faserabbildungen konkretisiert. Den meisten Beispielen geneinsam ist eine zweistufige Analyse, die zunächst einmal rein topologische Eigenschaften betrachtet und die dabei erzielten Ergebnisse durch maßtheoretische Einsichten verfeinert. • In der einfachsten hier betrachteten Situation waren die Faserabbildungen konkav und hatten alle einen gemeinsamen (instabilen) Fixpunkt. Das graduelle Kollabieren des globalen Attraktors auf den durch den Fixpunkt bestimmten invarianten Unterraum wurde mit Techniken des thermodynamischen Formalismus quantitativ beschrieben. • Ferner wurde ein Modell einer zufälligen Neimark-Sacker-Verzweigung analysiert, das als gestuftes Schiefprodukt-System beschrieben werden kann, in dem ebenfalls konkave Zweige eine wesentliche Rolle spielen. Mathematische Werkzeuge für diese Untersuchung wurden entwickelt. • In weiteren Arbeiten wurden sigmoidale Faserabbildungen ohne gemeinsamen Fixpunkt betrachet. Da praktisch alle in der Literatur vertretenen sigmoidalen Funktionen negativ Schwarzsche Ableitung haben, wurde das auch in underen Arbeiten vorausgesetzt. Damit sind auch alle komponierten Faserabbildungen sigmoidal und haben höchstens drei Fixpunkte, und man kann zeigen, dass es höchstens drei invariante Graphen für das Schiefproduktsystem geben kann. von besonderem Interesse ist dabei der zentrale invariante Graph. Im Spezialfall, wo alle Faserabbildungen identische äußere Fixpunkte haben, beobachtet man das Phänomen von “intermingled basins”. In diesem Fall kann das Ausmaß, in dem die beiden Anziehungsbereiche sich „durchdringen”, durch geometrisch definierte Größen wie den Stabilitätsindex quantifiziert werden, und wir haben diesen Index durch dynamische Kennzahlen im Rahmen des thermodynamischen Formalismus beschrieben. Können die Fixpunkte der Faserabbildungen beliebig fluktuieren, so wird die Dynamik insbesondere durch die Menge von Punkten charakterisiert, an denen die drei invarianten Graphen kollidieren. Topologische, maßtheoretische und dimensionstheoretische Untersuchungen an dieser Menge wurden durchgeführt. Dabei konnte schließlich die Hausdorff-Dimension der Menge der Kollisionspunkte im Rahmen des thermodynamischen Formalismus bestimmt werden. Überraschend war der Weg, der letztlich dazu führte: Durch die Mitarbeit im DFG Scientific Network Skew Product Dynamics and Multifractal Analysis (Koordinator Tobias Oertel-Jäger) haben wir uns - anders als ursprünglich geplant - auch mit Systemen mit linearen kontrahierenden Faserabbildungen beschäftigt, deren invariante Graphen im Spezialfall Weierstrassoder verwandte Funktionen sein können. Bei eigenen Arbeiten zur Hausdorff-Dimension dieser Graphen lernten wir die äußerst wichtige Rolle kennen, die die stark stabilen Fasern dieser partiell hyperbolischen Systeme für die Struktureigenschaften des invarianten Graphen spielen. Diese Sichtweise konnte schließlich auch für Systeme mit sigmoidalen Faserabbildungen in einer abschließenden Arbeit nutzbar gemacht werden.

Publications

• An elementary proof for the dimension of the graph of the classical Weierstrass function. Annales de l’Institut Henri Poincaré
  Gerhard Keller
  
• Bifurcation and Hausdorff dimension in families of chaotically driven maps with multiplicative forcing. Dynamical Systems: An International Journal, (28):123–139, 2013
  Gerhard Keller and Atsuya Otani
  
• Stability index for chaotically driven concave maps. Journal of the London Mathematical Society, 89(2):603–622, 2014
  Gerhard Keller
  
• A model for the nonautonomous Hopf bifurcation. Nonlinearity, 28:2587–2616, 2015
  Vasso Anagnostopoulou, Tobias Jäger, and Gerhard Keller
  
• Stability index, uncertainty exponent, and thermodynamic formalism for intermingled basins of chaotic attractors
  Gerhard Keller
  
• The Hausdorff dimensions of strange invariant graphs in skew product systems with chaotic basis including Weierstrass-type functions. PhD thesis, Univ. Erlangen-Nürnberg, 2015
  Atsuya Otani
  
• Random minimality and continuity of invariant graphs in random dynamical systems. Transactions Amer. Math. Soc., 368:6643–6662, 2016
  Tobias Jäger and Gerhard Keller