Gemischte Least-Squares Finite Elemente für geometrisch nichtlineare Probleme der Festkörpermechanik

• Applicants: Professor Dr.-Ing. Jörg Schröder; Professor Dr. Gerhard Starke
• Subject Area: Mechanics
• Term: from 2011 to 2016
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 211302948

• Final Report Year: 2016

Final Report Abstract

Im Rahmen dieses Forschungsprojektes wurde eine spannungsbasierte gemischte Finite-Element-Methode vom least-squares Typ auf der Basis von Raviart-Thomas-Elementen für hyperelastische Materialmodelle umgesetzt und analysiert. Die zentralen Ergebnisse wären ohne die enge Zusammenarbeit zwischen Ingenieuren und Mathematikern nicht möglich gewesen. Aus Ingenieurssicht sind zwei Ergebnisse des Projekts hervorzuheben. Zu einem lieferten die analysierten least-squares Formulierungen eine zuverlässige Approximation der Spannungen. Dies gilt für alle getesteten isotropen und anisotropen Materialmodelle (auch im inkompressiblen Grenzfall). Zum anderen wurde die Leistungsfähigkeit in Abhängigkeit einzelner Kriterien geprüft. Hinsichtlich der polynomialen Interpolationsordnungen stellte sich heraus, dass niedrigere (lineare) Interpolationen vermieden werden sollten und grundsätzlich höhere Ordnungen bevorzugt werden sollten. Des Weiteren zeigten sowohl modifizierte als auch sogenannte gewichtete überbestimmte Formulierungen vielversprechende Ergebnisse und sind Gegenstand aktueller Forschung. Vom mathematischen Standpunkt aus ist der Nachweis der Koerzivität des Ausgleichs-funktionals fur das Neo-Hooke Modell unter der Annahme kleiner Lasten als zentrales Ergebnis zu bewerten. Dies stellt die Ausgleichsformulierung auf der Basis der inversen Spannungs-Verzerrungs-Relation auf eine gesicherte Grundlage und ermöglicht die Einbeziehung des inkompressiblen Grenzfalls. Es eröffnet aber auch die Möglichkeit der Nutzung adaptiver Verfeinerungsstrategien unter Verwendung der lokalen Auswertung des Ausgleichsfunktionals. Die Vergleichsrechnungen mit herkömmlichen Verschiebungs-Druck-Ansätzen zeigen, dass unsere Formulierung auch für größere Lasten und bis hin zu Verzweigungspunkten zuverlässige Resultate liefert. Durch diese Arbeiten war es möglich, allgemeinere isotrope (Mooney-Rivlin) sowie anisotrope (transversale Isotropie) Materialmodelle zu behandeln. Für zukünftige Untersuchungen bietet sich die Übertragung auf allgemeinere Modelle sowie die detaillierte Betrachtung der Modell-Adaptivität an. Des Weiteren baut ein gemeinsames Projekt im Schwerpunktprogramm 1748 zur finiten Elasto-Plastizität auf den Ergebnissen insbesondere der modifizierten und überbestimmten Formulierungen auf.

Publications

• Comparison of geometrically nonlinear LSFEM formulations based on different hyperelastic models. PAMM, 13:97–98, 2013
  K. Steeger, A. Schwarz, J. Schröder, G. Starke, und B. Müller
  
• A first-order system least squares method for hyperelasticity. SIAM Journal on Scientific Computing, 36:795–816, 2014
  B. Müller, G. Starke, A. Schwarz, und J. Schröder
  
• An improved mixed finite element based on a modified least-squares formulation for hyperelasticity. PAMM, 14:243–244, 2014
  A. Schwarz, K. Steeger, J. Schröder, G. Starke, und B. Müller
  
• On a least-squares formulation for hyperelastic, transversely isotropic problems. PAMM, 14:247–248, 2014
  K. Steeger, A. Schwarz, J. Schröder, G. Starke, und B. Müller
  
• Weighted overconstrained least-squares mixed finite elements for static and dynamic problems in quasi-incompressible elasticity. Computational Mechanics, 54:603–612, 2014
  A. Schwarz, K. Steeger, und J. Schröder
  
• Comparison of a mixed least-squares formulation using different approximation spaces. PAMM, 15:233–234, 2015
  K. Steeger, J. Schröder und A. Schwarz
  
• Weighted overconstrained least-squares mixed finite elements for hyperelasticity. PAMM, 15:227–228, 2015
  A. Schwarz, K. Steeger und J. Schröder
  
• Least-squares mixed finite element formulations for isotropic and anisotropic elasticity at small and large strains. In: Schröder J., Wriggers P. (eds) Advanced Finite Element Technologies. CISM International Centre for Mechanical Sciences (Courses and Lectures), vol 566. Springer, Cham, 2016, pp 131-175
  J. Schröder, A. Schwarz, und K. Steeger
  
• Stress-based finite element methods in linear and nonlinear solid mechanics. In: Schröder J., Wriggers P. (eds) Advanced Finite Element Technologies. CISM International Centre for Mechanical Sciences (Courses and Lectures), vol 566. Springer, Cham, 2016, pp 69-104
  B. Müller, G. Starke