Geodätische Pfade im Raum der Shapes

• Antragsteller: Professor Dr. Martin Rumpf
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 212212052

In diesem Projekt werden robuste und flexible Werkzeuge für die quantitative Analyse von Formen im Zusammenspiel von angewandter Geometrie und numerischer Simulation entwickelt.Formen sind hier gekrümmte Oberflächen, die physikalische, schalenartige Geometrien repräsentieren. In der isogeometrischen Analysis betrachtet man eine Vielzahl von niedrig- und mitteldimensionalen Beschreibungen komplizierter und realistischer Geometrieformate. Die hier betrachteten Geometriebeschreibungen sind flexibel angelegt und reichen von einfachen stückweisen linearen bis hin zu Subdivisions-generierten Oberflächendarstellungen. Das grundlegende Werkzeug für eine quantitative Formanalyse ist die Berechnung eines Abstands zwischen zwei Formen als Objekte in einem hoch- oder unendlichen Riemannschen Formenraum. Über den Riemannschen Abstand hinaus entwickeln wir ein umfangreiches Riemannsches Kalkül, das die geometrische Exponentialabbildung, den geometrischen Logarithmus, den Paralleltransport, die kovariante Ableitung sowie Riemannsche Splines umfasst. Darüber hinaus untersuchen wir die statistische Analyse großer Datensätze von Formen. Unser Ziel ist es, diese Methoden in der Animation und dem geometrischen Modellieren in der Computergrafik anzuwenden. Im letzten Jahr des Netzwerks Geometry+Simulation werden wir die folgenden Ansätze weiterverfolgen:(A) eine geodätische Hauptachsenanalyse (PGA) von diskreten Schalenflächen, basierend auf nichtlinearen rotationsinvarianten Koordinaten,(B) einen von der PGA abgeleiteten Reduzierte-Basen-Ansatz zur Echtzeit-Manipulation und Animation detailreicher Triangulierungen,(C) einen isogeometrischen Ansatz zur Diskretisierung elastischer Schalenenergien basierend auf einer G^1 Multi-Patch-B-Spline-Parametrisierung,(D) die Implementierung dieser nichtlinearen Energien im Rahmen der Softwareplattform G+Smo, die projektübergreifend innerhalb des NFN entwickelt wurde.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Österreich
• Kooperationspartner: Professor Dr. Bert Jüttler; Professor Dr. Ulrich Langer; Professor Dr. Otmar Scherzer; Professor Dr. Walter Zulehner