Kurven über endlichen Körpern mit elliptischen Differentialen und kryptographische Anwendungen
Final Report Abstract
Das Projekt war durch das diskrete Logarithmusproblem in elliptischen Kurven über endlichen Körpern motiviert. Dieses Problem ist in der Kryptographie relevant, weil die Sicherheit vieler kryptographischer Protokolle auf der algorithmischen Schwierigkeit dieses Problems beruht. In vorherigen Arbeiten, unter anderem von mir selbst, wurde gezeigt, dass man dieses Problem über endlichen Erweiterungskörpern überraschend leicht lösen kann, wenn es gelingt, eine geeignete Überlagerung der elliptischen Kurve mittels einer über einem kleineren Körper definierbaren Kurve zu finden. Das Projekt sollte einen Beitrag zu dieser Fragestellung leisten. Hierfür sollten Kurven, die elliptische Kurven überlagern (sogenannte Kurven mit elliptischen Differentialen) von verschiedenen Aspekten aus untersucht werden. Es wurde ein Ansatz mittels abelscher Varietäten und Thetafunktionen gewählt, weil dieser Ansatz auf Grundlage der Arbeit "Computing (l,l)-isogenies in polynomial time on Jacobians of genus 2 curves" von Damien Robert und Romain Cosset (2015) als besonders aussichtsreich erschien. Erste Ergebnisse liegen zu Kurven von Geschlecht 2 und 3 vor. Hieran schloss sich eine Untersuchung zu Kurven von Geschlecht 4 an. Diese Untersuchung konnte noch nicht abgeschlossen werden.
