Extremal Behavior of Time Series: Refined Models, Analysis and Inference

• Applicant: Professorin Dr. Anja Janßen
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2012 to 2015
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 213730548

• Final Report Year: 2015

Final Report Abstract

Wir haben uns in diesem Projekt zum einen mit neuen Modellen für asymptotisch unabhängigen Zeitreihen beschäftigt und ihre extremalen Eigenschaft untersucht und zum anderen effizientere Schätzer für extremale Abhängigkeiten von Zeitreihen entwickelt. Ein Schwerpunkt des ersten Teils lag dabei auf der Entwicklung geeigneter Modelle für Finanzzeitreihen, wobei es uns gelungen ist, ein neues Modell mit stochastischer Volatilität zu formulieren, das deutlich flexibler in der Modellierung extremaler Abhängigkeiten als “klassische” Modelle mit stochastischer Volatilität ist. Die Grundidee des Modells ist es dabei, eine log-lineare Volatilititätszeitreihe mit schweren Tails mit unabhängig und identisch verteilten Innovationen mit leichten Tails zu kombinieren, so dass die extremalen Abhängigkeiten der Log-Returns vorwiegend durch die Volatilitätszeitreihe beeinflusst werden. Insbesondere ist dieses Modell in der Lage, ein Abhängigkeitsverhalten darzustellen, das zwar schwächer ist als z.B. bei GARCHModellen, aber stärker als bei ”klassischen” Modellen mit stochastischer Volatilität. Ein wichtiges Hilfsmittel bei unseren Untersuchungen war ein neues Lemma vom Breiman-Typ zur regulären Variation auf dem Kegel (0; ∞)d . Im statistischen Teil unseres Projektes haben wir das asymptotische Verhalten von Schätzern für den sogenannten “coefficient of tail dependence” von zwei Beobachtungen einer Zeitreihe zu verschiedenen Zeitpunkten untersucht. Basierend auf unseren Ergebnissen kamen wir zu dem Schluss, dass sich die extremalen Abhängigkeiten in realen Finanzzeitreihen weder durch GARCH-Modelle noch durch ”klassische” Modelle mit stochastischer Volatilität adäquat abbilden lassen, während die oben genannten neuen Modelle grundsätzlich in der Lage sind, dieses Verhalten wiederzugeben. Zudem waren wir mit Hilfe der sogenannten “time change formula” in der Lage, effizientere Schätzer für die extremalen Abhängigkeiten von allgemeinen mischenden Zeitreihen zu konstruieren.

Publications

• (2014). “Markov tail chains.” J. Appl. Probab. 51, 1133–1153
  Janßen, A. and Segers, J.
  
• (2015). “Joint extremal behavior of random products”
  Janßen, A. and Drees, H.
  
• (2015). “Statistics for tail processes of Markov chains.” Extremes 18, 369–402
  Drees, H., Segers, J. and Warchoł, M.
  
• “A stochastic volatility model with ¿exible extremal dependence structure.” Bernoulli Volume 22, Number 3 (2016), 1448-1490
  Janssen, A. and Drees, H.