Stabilität und Schwingungen bei Differentialgleichungen mit zustandsabhängiger Zeitverzögerung die strukturierte Populationen beschreiben

• Antragsteller: Dr. Philipp Getto
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 214819831

Die vorgeschlagene Forschung beschäftigt sich mit der mathematischen Analyse von Differentialgleichungen die die Populationsdynamik von Stammzellen beschreiben. Stammzellen haben lebenswichtige Funktionen. Sie können sich selbst erneuern, sich nach Verlust von Gewebe oder Blut zu reiferen Zellarten weiterentwickeln und schliesslich die verlorenen reifen Zellen ersetzen. Andererseits können Bruststammzellen die tumorartiges Verhalten aufweisen sehr gefährlich sein. Die Regelung des Reifungsprozesses beruht auf intrazellulärer Signalgebung. Fragen wie welcher Reifegrad welchen regelt sind Gegenstand aktueller Forschung.Wir haben ein Modell entwickelt in dem die reifen Zellen Selbsterneuerung und Reifeprozesse regeln. Zusätzlich dürfen Reifung und Produktivität der Vorläuferzellen von ihrer Reife abhängen. Das Modell kann als Transportgleichung, ein Typ partieller Differentialgleichung, formuliert werden, aber es gibt in dieser Formulierung keine bekannten Analysemethoden.Eine alternative Formulierung ist eine Differentialgleichung mit einer Zeitverzögerung die die Dauer der vollständigen Reifung angibt. Da jeder Moment der Reifung durch die reifen Zellen geregelt wird, hängt die Verzögerung von der Geschichte der reifen Zellen, d.h. einer Komponente des Systemzustandes ab und es ergibt sich eine Differentialgleichung mit zustandsabhängiger Verzögerung. Zusätzliche Komplikationen treten durch die bloß implizite Definition der Verzögerung und stetig verteilte Verzögerungen auf.In der ersten Projektphase zeigten wir globale Wohlgestelltheit, d.h., dass das Modell für alle Zeiten eine von der Anfangspopulation abhängige eindeutige Lösung hat, und linearisierte Stabilität, d.h., dass für Anfangspopulationen die einer Gleichgewichtspopulation ähneln das System eine ähnliche Dynamik hat wie ein lineares, d.h. wesentlich transparenteres, System. Dies sind vielleicht die ersten vollständigen Beweise dieser Resultate für derartig komplexe Populationsmodelle. Neben der Konvergenz gegen Gleichgewichtszustände werden auch Schwingungen und Periodizität in Zellzahlen häufig beobachtet, beispielsweise bei hämatologischen Erkrankungen wie zyklischer Neutropenie. Trotz einer Vielzahl numerischer Analyseresultate von charakteristischen Gleichungen kennen wir keine Beweise zur Existenz von Schwingungen für diese Modelle. Das neue Hauptziel ist bei der Schließung dieser Lücke zu helfen was zu einem neuen vielleicht noch herausfordernderem Durchbruch führen könnte. Desweiteren möchten wir globale Stabilität des Nullgleichgewichtes untersuchen, welches Möglichkeiten des vollständigen Aussterbens der Zellpopulation betrifft, sowie Persistenzmöglichkeiten der Population. Schließlich werden wir unsere numerischen Werkzeuge weiterentwickeln und damit Eigenschaften wie Stabilität und Schwingungen in Parameterebenen veranschaulichen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen