Kinematische Formeln in hermiteschen Raumformen und Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Andreas Bernig
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 215529441

Hermitesche Integralgeometrie ist der Zweig der Integralgeometrie, der sich auf hermitesche Vektorräume, komplex-projektive und komplex-hyperbolische Räume mit deren Isometriegruppen bezieht. Die Frage nach der durchschnittlichen Anzahl von Schnittpunkten zweier geometrischer Objekte in diesen Räumen ist von besonderem Interesse. Die entsprechenden kinematischen Formeln für komplexe Raumformen (hermitesche Vektorräume, komplex projektive und komplex hyperbolische Räume) wurden kürzlich von Bernig-Fu und Bernig-Fu-Solanes unter Zuhilfenahme der von S. Alesker entwickelten algebraischen Struktur auf dem Raum der Bewertungen sowie neuer algebraischer Strukturen auf dem Raum der Krümmungsmaße gefunden. Als Ergebnis der Berechnungen stellt sich heraus, dass die kinematischen Formeln in den komplexen Raumformen formal identisch sind. Das erste Ziel des Projektes ist ein besseres Verständnis der hermiteschen Integralgeometrie. Zunächst werden wir die Integralgeometrie von zweidimensionalen quaternionischen Raumformen studieren um zu sehen, ob die kinematischen Formeln wie im komplexen Fall in allen Raumformen formal identisch sind. Eine elegante Beschreibung der lokalen kinematischen Formeln bestünde darin, die algebraische Struktur (Generatoren und Relationen) des Dualraumes der unitär invarianten Krümmungsmaße anzugeben. Das ist das zweite Ziel des Projektes. Die Berechnung der Multiplikatoren der Alesker-Fourier-Transformation auf glatten translationsinvarianten Bewertungen ist das dritte Ziel.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen