Untersuchung der Gültigkeit der Whitham-Approximation

• Applicant: Professor Dr. Guido Schneider
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2012 to 2016
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 218391978

Die langsame zeitliche und räumliche Modulation periodischer Wellenzüge nichtlinearer Wellengleichungen kann formal durch die Whitham-Approximation beschrieben werden. So spielt sie eine wichtige Rolle bei der Beschreibung von sogenannten Monsterwellen. Die Whitham-Approximation kann mittels eines Multiskalenansatzes hergeleitet werden. Bislang ist nur in absoluten Spezialfällen bekannt, dass diese Näherung die Wirklichkeit richtig wieder gibt. Denn durch die formale Herleitung ist keineswegs klar, dass sich das Originalsystem so verhält, wie durch die Näherungsgleichung vorhergesagt. Es existieren zahlreiche Gegenbeispiele, bei denen dies nicht der Fall ist. Die Anzahl der auftretenden generischen universellen Modulationsgleichungen ist stark begrenzt. Im räumlich homogenen Fall sind dies bei Vorliegen von Dissipation die Ginzburg-Landau-Gleichung und bei Energieerhaltung die KdV-Gleichung und die Nichtlineare Schrödinger-Gleichung. Im räumlich periodischen Fall sind dies bei Vorliegen von Dissipation zusätzlich die Phasendiffusion-Gleichung und die Burgers-Gleichung und bei Energieerhaltung eben die Whitham-Gleichungen. Für die aufgeführten Modulationsgleichungen existiert bis auf die Ausnahme der Whitham-Gleichungen eine umfangreiche Theorie, wann diese die Wirklichkeit richtig beschreiben. So ist die Whitham-Approximation die letzte der generischen universellen Multiskalen-Approximationen, für welche bislang keine einigermaßen zufriedenstellende Theorie bezüglich ihrer Gültigkeit existiert. Das Ziel des beantragten Forschungsprojektes soll es daher sein, diese wichtige Frage zu klären.

• DFG Programme: Research Grants
• Participating Person: Professor Dr. Wolf-Patrick Düll