Spherical intrinsic volumes
Final Report Abstract
Das Ziel dieses Forschungsprojektes war die Untersuchung der sphärischen/konischen inneren Volumina sowohl im theoretischen Bereich wie auch in praktischen Anwendungen. Das Hauptresultat ist eine Übertragung des bekannten Maßkonzentrationsphänomens auf konische innere Volumina, welches zur Folge hat, dass die inneren Volumina eines Kegels sich in hohen Dimensionen um den Erwartungswert, die sogenannte statistische Dimension des Kegels, konzentrieren. Konkrete Anwendung hat dieses Resultat im Bereich des Compressed Sensing und allgemein bei einer bestimmten Familie von konvexen Relaxierungsalgorithmen. Als Korollar folgt die Existenz von sogenannten Phasenübergängen in den Parametern dieser Algorithmen, so dass diese entweder mit hoher Wahrscheinlichkeit das richtige Ergebnis oder mit hoher Wahrscheinlichkeit ein falsches Ergebnis liefern. Die Phasenübergänge sind durch gewisse statistische Dimensionen gegeben, und können durch diese auch bestimmt werden. Dieses Hauptergebnis ist in Kollaboration mit Martin Lotz, Michael B. McCoy, und Joel A. Tropp entstanden. Die Arbeit hat bemerkenswerte Anerkennung in der Compressed Sensing community erfahren. Die Publikation wurde mit dem 2015 Information and Inference Best Paper Award ausgezeichnet, erhielt bis zum Zeitpunkt des Abschlussberichts (Februar 2016) laut Google Scholar 67 Zitierungen, und wurde sogar von Emmanuel Candes in einem Plenarvortrag an der International Conference of Mathematicians vorgestellt. Neben dieser Hauptarbeit über die asymptotischen Eigenschaften der inneren Volumina, welches als “Gesetz der großen Zahlen” für die statistischen Eigenschaften von konvexen Kegeln interpretiert werden kann, wurden die Grundlagen der Theorie um die konischen inneren Volumina, sowie deren Lokalisierungen, in weiteren Arbeiten gefestigt und ausgebaut. Weitere Anwendungen der asymptotischen Sichtweise, insbesondere im Bereich der average-case Analyse wurden aufgezeigt. Zusammenfassend kann konstatiert werden, dass das Ziel dieses Projektes, eine Etablierung der Theorie der konischen inneren Volumina und Anwendungen dieser Theorie, erfüllt wurde. Und dadurch, dass die Grundlagen in diesem Bereich nun (neu) gelegt wurden, lassen sich weitere Arbeiten in diesem Gebiet und Erweiterungen dieser Theorie in naher Zukunft erwarten.
Publications
- Gordon’s inequality and condition numbers in conic optimization
Dennis Amelunxen, Martin Lotz
- Intrinsic volumes of symmetric cones and applications in convex programming. Mathematical Programming, 149(1), 105–130, 2014
Dennis Amelunxen, Peter Bürgisser
(See online at https://doi.org/10.1007/s10107-013-0740-2) - Living on the edge: phase transitions in convex programs with random data. Information and Inference, 3(3), 224–294, 2014
Dennis Amelunxen, Martin Lotz, Michael B. McCoy, Joel A. Tropp
(See online at https://doi.org/10.1093/imaiai/iau005) - Measures on polyhedral cones: characterizations and kinematic formulas
Dennis Amelunxen
