Abgeschlossene Verflechtungsoperatoren lokal algebraischer Hauptreihendarstellungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die p-adischen Zahlen, genau wie die reellen Zahlen, lassen sich als Grenzwerte aller Bruchzahlen auffassen. Allerdings bezüglich eines anderen Abstands, der umso kleiner wird, je öfter die Differenz von einer gewählten Primzahl p geteilt wird. So unintuitiv dieser Abstandsbegriff, so spät wurde er untersucht: vor etwa hundert Jahren, zuerst von Kurt Hensel. Daher steckt auch ein Differenzialkalkül über diesen Zahlen noch in den Kinderschuhen, erfuhr bis dato aber durch fehlende Anwendungen auch wenig Interesse. Dies änderte sich durch eine Anwendung in der Darstellungstheorie, die Wirkungen von Gruppen auf Vektorräumen untersucht; hier der Gruppe der 2 × 2-Matrizen mit Einträgen in den p-adischen Zahlen auf einem Vektorraum ableitbarer Funktionen über den p-adischen Zahlen. Für diese Anwendung ist der Vergleich verschiedener Differenzierbarkeitsbegriffe wesentlich, etwa • durch die Einträge dieser Funktionen in ihrer Reihenentwicklung durch Orthogonalbasen, und • durch die Konvergenz ihres Taylorpolynoms, ein Polynom das um einen gewählten Punkt entwickelt, gegen den Funktionswert konvergiert. Diese waren größenteils über den Qp, den p-adischen Zahlen, bekannt, aber nicht über deren endlichen Erweiterungen, auf die das Interesse nun übergesprungen ist. Während über R, den reellen Zahlen, C, die komplexen Zahlen, das einzige Beispiel einer endlichen Erweiterung darstellt, gibt es über Qp viele dieser. Wir vergleichen diese Differenzierbarkeitsbegrife über den endlichen Erweiterungen von Qp. Das ursprüngliche Ziel war es gewisse Funktionenräume, auf denen eine beliebige Matrizengruppe mit Einträgen in F wirkt, durch Untersuchung eines Operators auf solchen Funktionenräumen zu beschreiben. Anstelle dieser Untersuchungen ist nun, auf diesen Vergleich aufbauend, die ursprüngliche Strategie getreten zur Untersuchung im Falle der Matrizengruppe mit 2 × 2 Einträgen in F.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- p-adic Taylor polynomials. Indadagtiones Mathematicae
E. Nagel
(Siehe online unter https://doi.org/10.1016/j.indag.2015.12.003) - Fractional Differentiability and Unitarity on parabolic Inductions. AMS Contemporary Mathematics
E. Nagel
- Fractional p-adic differentiability under the Amice transform. AMS Contemporary Mathematics (2015)
E. Nagel
