Stochastische Simulation zweidimensionaler Probleme für Elastomere mit Anwendungen auf die Parameteridentifikation und das direkte Problem
Final Report Abstract
Experimentelle Daten sind immer mit Unsicherheiten behaftet wobei drei Kategorien unterschieden werden können: 1. Störungen, infolge von Meßfehlern, 2. Streuungen infolge von Wiederholungen und 3. Unvollständigkeit der Daten. Als Folge der ersten beiden Kategorien weisen die Materialparameter und damit Simulationen, z.B. mit der Finite-Elemente-Methode, ebenfalls Unsicherheiten auf. Aus der dritten Kategorie, Unvollständigkeit der Daten, können sich z.B. Korrelationen für die Materialparameter ergeben, sodass insbesondere die Vorhersagefähigkeit von Simulationen drastische Unsicherheiten erfahren kann. Eine wesentliche Aufgabe dieses Projektes ist die statistische Analyse der Materialparameter für räumlich und zeitlich verteilte experimentelle Daten. Damit sollen insbesondere Verteilungen und Korrelationen von Materialparametern erkannt werden. Statistische Analysen benötigen eine große Anzahl experimenteller Ergebnisse. Die Durchführung der Experimente ist allerdings zeit- und kostenintensiv, sodass in diesem Projekt synthetische Daten zur künstlichen Erhöhung der Experimentanzahl verwendet werden. In dem Projekt wurde ein stochastisches Modell entwickelt, welches synthetische Daten auf Basis experimenteller Daten erzeugt. Die synthetischen Daten haben dieselben statistischen Eigenschaften wie die Experimente und können deshalb als solche für die Parameteridentifikation verwendet werden, um eine statistische Analyse der Materialparameter durchzuführen. Die entwickelten Methoden werden auf eine Lochscheibe aus verschiedenen Elastomeren angewendet. Für die Identifikation wurde eine hierarchische Struktur des Ogden-Materialmodells zugrunde gelegt, wobei Modelle mit unterschiedlicher Materialparameteranzahl untersucht worden sind. Als Ergebnisse wurden Häufigkeitsverteilungen der Materialparameter erhalten, welche das Streuverhalten beschreiben. Mit Hilfe der entwickelten Methoden konnte auch gezeigt werden, wie betragsmäßig hohe Korrelationen zwischen Materialparametern infolge einer Überparametrisierung des Materialmodells sichtbar werden, wobei der Modellfehler, d.h. der Abstand von simulierten und experimentellen Daten, nicht nennenswert reduziert wird. Besonderes Interesse an den Ergebnissen besteht im Bereich der Simulationen. Dort können die entwickelten Methoden bezüglich der Verteilungen der Materialparameter einfließen, um Aussagen über das Verhalten von Bauteilen infolge unsicherer Materialparameter zu beschreiben. In einem Folgeprojekt sollen die entwickelten Methoden zur Erzeugung synthetischer Daten weiter verbessert und auf andere Materialien übertragen werden. Weiterentwicklungspotenzial besteht in der Verwendung von NURBS anstelle von B-Splines in der Erzeugung synthetischer Daten. NURBS stellen eine Verallgemeinerung der B-Splines dar. Die Verwendung von NURBS ermöglicht eine Parameteridentifikation mit der Isogeometrischen Analyse (IGA) anstelle der FEM. Als Grundidee sollen isogeometrische Ansatzfunktionen aus der isogeometrischen Analyse verwendet werden, so dass die Funktionen der IGA auch zur Erzeugung synthetischer Daten verwendet werden. Damit wird unter Anderem Rechenzeit für die Lösung des Minimierungsproblems der Parameteridentifikation eingespart, da auch die Diskretisierung des Problems aus den synthetischen Daten bekannt ist. Außerdem ist es notwendig, die Auswirkungen streuender Materialparameter auf das direkte Problem eingehend zu untersuchen, um entsprechende Auswertemechanismen zu entwickeln. Auch hier kann wieder die Isogeometrische Analyse zum Einsatz kommen. Die Übertragbarkeit der Ergebnisse von Elastomere auf andere Materialien sollte in einem Folgeprojekt ebenfalls untersucht werden. Im Laufe des Projektes sind wichtige Erkenntnisse im Verhalten der Materialparameter in Abhängigkeit von Streuungen der experimentellen Daten gewonnen worden. Es hat sich herausgestellt, dass nicht alle Annahmen bezüglich der zeitlichen Abhängigkeiten aus dem Projektantrag umzusetzen sind. Überraschend ist, dass die Erzeugung der synthetischen Daten über die verschiedenen Zeitschritte unabhängig von den vorherigen Zeitschritten erfolgen konnte. Es ist allerdings in einem Folgeprojekt zu untersuchen, ob durch die Berücksichtigung der Zeit eine Reduktion der notwendigen Kontrollpunkte zur Approximation der experimentellen Daten erreicht werden kann. Dabei konnen die zeitlichen Abhängigkeiten der Kontrollpunkte über Regressionsfunktionen wie bei der Erzeugung zeitlich verteilter synthetischer Daten approximiert werden. Eine gleichzeitige Untersuchung der Korrelationen der Kontrollpunkte kann zu weiteren Reduktionen der Anzahl notwendiger Kontrollpunkte führen. Die Ergebnisse der Parameteridentifikation waren teilweise überraschend in Bezug auf die statistischen Ergebnisse bei der Betrachtung eines überparametrisierten Materialmodells. Die sehr unterschiedliche Verteilung der Materialparameter war so nicht vorhersehbar und verdeutlicht die Bedeutung der Untersuchungen im Projekt.
