Lagrangian fibrations on irreducible symplectic manifolds. Deformations of Lagrangian subvarieties and affine structures.

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Lehn
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2014
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 223506967

Gegenstand des Forschungsvorhabens ist das Studium von Lagrangefaserungen auf irreduzibel symplektischen Mannigfaltigkeiten. Die Klassifikationstheorie komplexer Mannigfaltigkeiten (Kodaira-Klassifikation) und das Studium von Mannigfaltigkeiten mit verschwindender erster Chern-Klasse rücken irreduzibel symplektischen Mannigfaltigkeiten in den Fokus. Lagrangefaserungen sind ein geometrisches Mittel zu deren Verständnis. Die konkreten Fragen unseres Projekts betreffen Deformationstheorie und affine Strukturen.Zur Terminologie: Eine Varietät ist eine gleichungsdefinierte Menge. Eine Mannigfaltigkeit ist eine Varietät, die lokal wie der Euklidische Raum aussieht. Eine Faserung einer Mannigfaltigkeit ist eine Zerlegung derselben in Untervarietäten (Fasern), parametrisiert durch eine Basisvarietät. Die Fasern sind zum Großteil Mannigfaltigkeiten, doch gibt es in obiger Situation stets Degenerationen. Man spricht von singulären Fasern der Faserung. Diese sind der eigentliche Kern beim Studium von Lagrangefaserungen. Ihre Gestalt im Einzelnen, wie auch ihre Gesamtheit tragen viel Informationen. Die Lagrangeeigenschaft erlaubt es uns, Deformationen der singulären Fasern besser kontrollieren zu können. Hier gibt es interessante und tiefe Zusammenhänge zur Modul- und zur Hodgetheorie und wir wollen diese für die wichtigsten Modelle singulärer Fasern verstehen.Es ist vielfach beobachtet worden, dass die Basis einer Lagrangefaserung starken Einschränkungen unterliegt. Zum Beispiel hat sie eine affine Struktur. Diese wollen wir benutzen um aus ihr die Faserung reproduzieren zu können. Die in der reellen Geometrie allgemein bekannte Methode funktioniert in der komplexen Geometrie nicht mehr und wir suchen dasjenige zusätzliche Element, was die analoge Konstruktion zuläßt. Das langfristige Ziel ist zum einen, zur Klassifikationstheorie beizutragen, zum anderen aber auch ein systematisches Mittel zur Konstruktion von Beispielen zu haben.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Beteiligte Institution: Université Paris Cité; Campus des Grandes Moulins; Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (UMR 7586)
• Gastgeberin: Professorin Dr. Claire Voisin