Moduli spaces of sheaves and symplectic varieties
Final Report Abstract
Kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten von Kählerschem Typ mit trivialer erster Chern-Klasse - das sind genau die Ricci-flachen - zerfallen nach endlicher Überlagerung in ein Produkt aus Tori, Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten und irreduzibel holomorph symplektischen Mannigfaltigkeiten. Von Letztgenannten sind bisher vergleichsweise wenig Beispiele bekannt, die alle im wesentlichen aus Modulräumen von halbstabilen Garben auf K3- und abelschen Flächen konstruiert werden können. Wählt man die Invarianten der betrachteten Garben und das für die Stabilität zu wählende ample Geradenbündel derart, dass die Modulräume automatisch glatt sind, so erhält man im Fall von (projektiven) K3-Flächen irreduzibel holomorph symplektische Mannigfaltigkeiten, die deformationsäquivalent zu einem Hilbert-Schema von Punkten auf dieser K3-Fläche passender Dimension sind. Im Fall von abelschen Flächen betrachtet man eine bestimmte Faserung, die zu Deformationen von verallgemeinerten Kummer-Varietäten führt. Für eine spezielle Wahl von Invarianten und generischem amplem Divisor erhält man singuläre symplektische Modulräume, deren symplektische Auflösung auf die Beispiele von O'Grady führen. Kaledin, Lehn und Sorger schließen die Existenz von symplektischen Auflösungen im allgemeinen aus. Dieses Ergebnis konnte ich für verbleibende Spezialfälle für Garben der Dimension 1 sowie für viele Fälle von Garben positiven Ranges ausweiten. Im Rahmen meines Projektes am Imperial College konnte ich das Ergebnis weiter ausweiten, die Problematik jedoch nicht vollständig abschließen. Zum Studium dieser irreduzibel holomorph symplektischen Mannigfaltigkeiten oder allgemein von symplektischen Varietäten ist es von großem Interesse, Lagrangesche Untervarietäten und Lagrange-Faserungen zu produzieren und zu verstehen. Im Rahmen meines Projektes am Imperial College konnte ich ein altes Ergebnis von Kim auf unsere Situation übertragen und verallgemeinern und interessante Beispiele von Lagrangeschen Untervarietäten durch Zurückholen von Garben vermöge endlicher unverzweigter Überlagerungen von Enriques- und bielliptischen Flächen produzieren. Als Nebenprodukt entstehen Aussagen über Singularitäten der Modulräume halbstabiler Garben auf Enriques- und bielliptischen Flächen.
Publications
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Subvarieties of moduli spaces of sheaves via finite coverings, International Mathematics Research, 2012
Markus Zowislok
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On the existence of (H,A)-stable sheaves on K3 or abelian surfaces, 2013
Markus Zowislok
