Modulating pulse solutions to the water-wave problem
Applied Mechanics, Statics and Dynamics
Final Report Abstract
Eine homokline Lösung einer Banachraumwertigen Evolutionsgleichung ux = Lu + N (u) (1) ist eine nichttriviale Lösung mit u(x) → 0 für x → ±∞. Bei räumlicher Dynamik handelt es sich um die Formulierung eines physikalischen Problems mit einer unbeschränken räumlichen Koordinate x als Gleichung dieses Typs. Hängt die Gleichung nicht von der Zeit ab, so entspricht eine homokline Lösung einem lokalisierten Puls; hängt er periodisch von der Zeit ab, so oszilliert der Puls periodisch und heißt Breather. Für eine breite Klasse von Problemen der Form (1) bifurkieren Pulse kleiner Amplitude von der trivialen Lösung, wenn (i) ein Paar imaginärer Eigenwerte von L reell werden, indem sie im Nullpunkt kollidieren, und (ii) es keine weiteren imaginären Eigenwerte gibt. Falls Bedingung (ii) nicht erfüllt u ist, erwartet man die lokale Bifurkation von ‘verallgemeinerten Pulsen’, die nicht global sondern über (verglichen mit ihrer Amplitude) sehr großen Raumskalen existieren, und – falls sie global existieren – gegen Oszillationen sehr kleiner Amplitude abklingen. Das angegebene Ziel des Forschungsprojekts war die Entwicklung einer lokalen Bifurkationstheorie für verallgemeinerte Pulse für Gleichungen der Form (1), und im Laufe des Projekts wurde ihre Existenz (über exponentiell langen Raumskalen) in drei Settings bewiesen: (i) Reversible quasilineare symmetrische hyperbolische Systeme der Form ux = A(u)ut + B(u), wobei u(x, t) ∈ Rn und A eine symmetrische, streng hyperbolische Matrix ist. (Hier hat L unendlich viele imaginäre Eigenwerte). Anwendung: quasilineare Wellengleichungen. (ii) Reversible quasilineare Gleichungen der Form (1) des Kirchgässner-Typs, d.h. mit den Eigenschaften, dass L (i) eine endliche Menge {±iω1 , . . . , ±iωm } imaginärer Eigenwerte hat, und (ii) einer klassischen Resolventenabschätzung genügt. (Hat die Gleichung eine Erhaltungsgröße mit gewissen Eigenschaften, so existieren die Pulse global und klingen gegen exponentiell kleine Oszillationen ab.) Anwendung: Schwerewellen auf Wasser mit beliebigen Vortizitätsverteilungen. (iii) Reversible quasilineare Systeme gemischten Typs der Form ux = L(∂t )u + N (u) (mit unendlich vielen imaginären Eigenwerten und einer nichtstandarden Resolventenabschätzug). Anwendung: Breather in Gittern und für Wasserwellen (Letzteres war der Schwerpunkt des ursprü nglichen Forschungsvorhabens); die Einzelheiten werden von einem Doktoranden aufgeschrieben. Ferner wurde im Rahmen der Einarbeitung in den o.g. Fragekomplex eine signifikante neue Anwendung räumlicher Dynamik entdeckt: (stationäre) lokalisierte Pulse auf der Oberfläche eines Ferrofluides. Die zugrundeliegenden Gleichungen wurden in der Form (1) formuliert und die Existenz homokliner Lösungen durch in der Arbeitsgruppe bereits entwickelte Methoden festgestellt. Dies sind die ersten derartigen Ergebnisse (die den weiteren Vorteil haben, dass sie nicht auf ein bestimmtes Magnetisierungsgesetz für das Ferrofluid beschränkt sind), und haben das Interesse von Experimentalphysikern erweckt.
Publications
-
‘On the Hamiltonian structure of the planar steady water-wave problem with vorticity’, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 352, 205–211 (2014)
M. D. Groves & A. Stylianou
-
‘Pattern formation on the free surface of a ferrofluid: spatial dynamics and homoclinic bifurcation’, Physica D, 350, 1–12 (2017)
M. D. Groves, D. J. Lloyd & A. Stylianou
