Numerical Methods for Nonlinear Elliptic Differential Equations

• Antragsteller: Professor Dr. Klaus Böhmer (†)
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2013
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 231694594

Die Konvergenz der für Bifurkationen und Zentralmmannigfaltigkeiten relevanten Daten für alle aktuellen Diskretisierungsmethoden und nichtlinearen elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen ist das Hauptziel im geplanten Volume II, cf. K. Böhmer, Numerical Methods for Nonlinear Elliptic Differential a Synopsis. Oxford University Press, Oxford, 772 pp., 2010 und Kapitel 9,10 in Band II. Die Raumdiskretisierung des elliptischen Teils ist das dominante Problem. Eine Schlüsselbedingung ist die Übertragung der Äquivarianz vom orginalen zum discretisierten (Bifurkations-)problem, cf. Kapitel 10, 11 im geplanten Volume II. Mit den Ko-authoren in USA und Kanada der Kapitel 11, 22, 23 in Volume II sind die wesentlichen Lücken zu schließen. Zusätzlich möchte ich mit Specialisten die von mir gewählten Konzepte und ein Minisymposium bei der MAFLAP 2013 with S. Brenner diskutieren. Volume II soll 2013 abgeschlossen und wieder bei OUP erscheinen. Für "Numerical Exploitation of Equivariance for Finite Groups" in Kapitel 11 in Volume II ist zu zeigen, dass "mesh free methods" in den hier formulierten Rahmen passen (Kooperation with Allgower, Mei, Fasshauer, Tausch). Die Konvergenz für "meshfree methods" für nichtlineare Probleme ist kürzlich erstmalig in einem Paper mit Schaback bewiesen worden, das demnächst in JCAM erscheinen wird. "Numerical Center Manifold Methods" gestatten die Berechnung der lokalen Dynamik durch Kombination von Raum und Zeit (vollen) Diskretisierungen, Kapitel 21 in Volume II. Diese Konvergenz für volle Diskretisierungsmethoden war für partielle Differentialgleichungen eine völlig offene Frage, mit Ausnahme von K. Böhmer: On hybrid methods for bifurcation studies for general operator equations. In B. Fiedler, editor, Ergodic theory, Analysiss, and Efficient Simulation of Dynamical Systems, pages 73-107, Berlin, Heidelberg, New York, 2001. Springer. Wir haben zu beweisen, dass die Bedingungen in Kapitel 21 erfüllt sind für die Boussinesq Approximation für den geheizten Zylinder (Kooperation) with G. Lewis in Chapter 22 und das geophysikalische Problem der Konvektion des Magmas im Erdmantel in Chapter 23 in Volume II mit G. Dangelmayr, C. Geiger (Kooperation mit Dangelmayr). Zusätzlich möchte ich zu folgenden Gebieten die Spezialisten Guckenheimer, Golubitsky für Bifurkation und Zentralmannigfaltigkeiten, Fasshauer, Schumaker für Approximationstheorie und Bank, Bowman, Holst, Keyfitz, Minev, Nigam und Asher für elliptische partielle Differentialgleichungen und Algebro-Differentialgleichungen konsultieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen