Blowup glatter Lösungen und bedingte Regularität in der mathematischen Fluidmechanik

• Antragsteller: Dr. Vu Hoang
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 233177374

Die dreidimensionalen Euler-Gleichungen für die Bewegung einer inkompressiblen, idealen Flüssigkeit sind eines der fundamentalsten Modelle der mathematischen Fluidmechanik. Ein herausragendes ungelöstes mathematisches Problem besteht darin, zu entscheiden, ob die Lösungen global in der Zeit regulär bleiben, oder ob sich Singularitäten aus einer glatten Lösung heraus in endlicher Zeit entwickeln können. Das analoge Problem für die Navier-Stokes Gleichungen ist eines der berühmten Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institute. In neuester Zeit gab es interessante Durchbrüche auf dem Gebiet der Euler-Gleichungen. In einer wegweisenden Arbeit entdeckten T. Hou und G. Luo (California Institute of Technology) starke numerische Hinweise auf einen möglichen Blowup-Mechanismus in den axialsymmetrischen Eulergleichungen. Diese Entdeckung hat eine rege Forschungstätigkeit ausgelöst, in deren Mittelpunkt das sogenannte hyperbolische Strömungszenario steht. Dabei handelt es sich um die Konstruktion einer Strömung, die entlang einer Richtung eine starke Kompression aufweist, mit dem Ziel, über diesen Mechanismus starke Gradienten zu erzeugen. Man hofft, dass es dadurch gelingt, einen Blowup in endlicher Zeit nachzuweisen. Dabei spielen Symmetrien der Lösung und geeignete Randbedingungen eine große Rolle. Aufgrund der Komplexität des Problems werden vereinfachte ein- und zweidimensionale Modellprobleme zur Zeit intensiv untersucht. In meinem Forschungsprogramm befasse ich mit dem hyperbolischen Strömungsszenario im Kontext der folgenden Modellprobleme: die Boussinesq-Gleichungen mit vereinfachtem Geschwindigkeitsgesetz, die zweidimensionalen quasigeostrophischen Gleichungen sowie einige eindimensionalen Probleme. Mein Ziel ist, in diesen Modellproblemen entweder den Blowup in endlicher Zeit rigoros zu beweisen oder durch bedingte Regularitätsresultate bestimmte Szenarien auszuschließen. Das Hauptproblem, das es bei einem Blowup-Beweis zu überwinden gilt, ist die Erzeugung einer stabilen Instabilität in folgendem Sinne: einerseits möchte man, dass gewisse Größen in endlicher Zeit unbeschränkt wachsen, andererseits muss man genügend Kontrolle über die nichtlokale und nichtlineare Evolution behalten, damit das Blowup-Szenario nicht zusammenbricht. Bei einem bedingten Regularitätsresultat hingegen nimmt man bestimmtes Blowup-Szenario an, und versucht dieses unter Zuhilfenahme der Dynamik des Systems auszuschließen. Auch hier ist die Kontrolle der Evolution immens wichtig. In meinem Projekt entwickle ich dazu neue a-priori Abschätzungen, welche die Geometrie der Strömung optimal ausnutzen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. Alexander Kiselev