Blowup of smooth solutions and conditional regularity in mathematical fluid mechanics
Final Report Abstract
Die dreidimensionalen Euler-Gleichungen für die reibungsfreie Strömung einer idealen, inkompressiblen Flüssigkeit sind eines der fundamentalsten Modelle der mathematischen Fluidmechanik. Sie sind von großer Bedeutung in Physik, Technik und den Ingenieurswissenschaften. Obwohl es seit bereits etwa 200 Jahren Untersuchungen zu den Euler-Gleichungen gibt, ist die grundlegendste Frage, ob sich Singularitäten in den Lösungen bilden können, noch ungeklärt. Die Untersuchung wird durch die Nichtlokalität und Nichtlinearität der Gleichungen erschwert. Die Frage ist mit dem berühmten ,,Millennium Problem” des Clay Mathematics Institute für die dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen verwandt. In jüngerer Zeit wurde durch numerische Untersuchungen von T. Hou und G. Luo Bewegung in dieses Gebiet gebracht. Durch geeignet gewählte Anfangsdaten wird hierbei ein sogenanntes hyperbolisches Szenario geschaffen, welches vermutlich in endlicher Zeit zur Singularitätenbildung führt. In meinem Forschungsprojekt habe ich mathematische Techniken entwickelt, welche die Eigenschaften des hyperbolischen Szenarios ausnutzen und die enthaltene Nichtlinearität und Nichtlokalität respektieren. Zunächst habe ich diese Techniken auf Modellgleichungen der Fluidmechanik angewandt, welche verschiedene Mechanismen und Aspekte der dreidimensionalen Euler-Gleichungen nachbilden. Diese Modellgleichungen wurden teilweise erst vor Kurzem vorgeschlagen. Ich erwarte, dass diese Techniken in Zukunft eine wichtige Rolle spielen werden, um die Existenz von singulären Lösungen für die Euler-Gleichungen zu beweisen. Die folgenden Gleichungen habe ich in meinem Forschungsprojekt betrachtet: (a) die zweidimensionale Eulergleichung im Zusammenhang mit dem hyperbolischen Szenario auf dem Torus, (b) das α-patch Modell, (c) ein modifizierte Version der Córdoba-Córdoba-Fontelos Evolutionsgleichung. Für die Gleichungen (b)-(c) wurde ein Blowup in endlicher Zeit nachgewiesen, während in (a) ein Theorem bewiesen wurde, welches unter generischen Bedingungen ein starkes Gradientenwachstum in der Lösung ausschließt.
Publications
- Cusp formation for a nonlocal transport equation, preprint
V. Hoang and M. Radosz
- One-dimensional model equations for hyperbolic fuid flow, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications Volume 140, July 2016, Pages 1-11
T. Do, V. Hoang, M. Radosz and X. Xu
(See online at https://doi.org/10.1016/j.na.2016.03.002) - “No Local Double Exponential Gradient Growth in hyperbolic flow for the 2d Euler equation”, erscheint in Transactions of the American Mathematical Society, 369 (2017), 7169-7211
V. Hoang and M. Radosz
(See online at https://doi.org/10.1090/tran/6900)
