Statistische Turbulenzmodellierung mittels Methoden aus der analytischen Gruppentheorie und Differentialgeometrie

• Applicant: Dr. Michael Frewer
• Subject Area: Fluid Mechanics
• Term: from 2006 to 2014
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 23569052

• Final Report Year: 2013

Final Report Abstract

Unter Verwendung eines neuen Formalismus ist ein universell forminvariantes (kovariantes) nichtlineares Wirbelviskositätsmodell der k-ε Familie für wandgebundene turbulente Strömungskonfigurationen aufgestellt worden. Die erheblichen numerischen Probleme, die sich für das Modell ergaben, sowie die unbefriedigende Tatsache, dass das Modell im allgemeinen zu viele freie Parameter enthält, erforderten letztendlich den Entschluss, die analytische Modellierungsstrategie von vorn zu überdenken. Alle Annahmen wurden somit nochmals überprüft. Als Fazit lässt sich festhalten, dass obwohl die drei Modellierungsansätze: i) Berücksichtigung der 4D Kovarianz, ii) Mitnahme aller instantanen Lie Symmetrien, iii) Forderung nach thermodynamischer Konsistenz, auf der einen Seite essentielle und nicht-verzichtbare Kriterien für eine physikalische Modellierung darstellen, liefern sie auf der anderen Seite leider keine weiteren wirklich wertvollen und zufriedenstellenden Restriktionen an die Modellparameter/funktionen. Das Hauptproblem ist, dass durch die drei Modellierungsansätze die Modellierungsterme selbst, hinsichtlich ihrer Vernachlässigbarkeit bzw. ihrer Dominanz in den Gleichungen, nicht bewertet werden können. Es lassen sich immer wieder neue und vor allem zu viele Terme konstruieren, die allen drei Modellierungsansätzen vollständig genügen können. Die numerische Auswertung bei der konsistenten Mitnahme aller Terme bis zu einer gewissen nichtlinearen (polynomialen) Ordnung, die wiederum durch das Cayley-Hamilton Theorem fixiert wird, führt leider zu derart hochinstabilen (sehr steifen) Systemen, die eine numerische Auswertung im allgemeinen unmöglich machen. Vor allem die Forderung nach Symmetrie in der Turbulenzmodellierung, die aus einer deterministischen (klassischen) Feldtheorie heraus folgt, konnte leider nicht denselben durchschlagenden Effekt erzielen wie die Modellierung der fundamentalen Kräfte innerhalb einer (inhärent stochastischen) Quantenfeldtheorie. Die erzielten Ergebnisse dieses Projekts reichen von der Konstruktion eines qualitativ neuen statistischen 1-Punkt Modells für die homogen isotrop zerfallende Turbulenz, sowie ein hierfür explizit von den Anfangsbedingungen abhängiges Zerfallsgesetz der turbulenten kinetischen Energie, über eine erweiterte Darstellung der 2-Punkt Geschwindigkeitskorre lation in der statistisch homogen achsensymmetrischen Turbulenz, bis hin zur topologisch-geometrischen Klassifizierung des Lösungsraums der stationären 3D-Eulergleichung in der dualen Stromfunktionsdarstellung.

Publications

• (2007). Symmetry investigations on the incompressible stationary axisymmetric Euler equations with swirl. Fluid Dyn. Res., 39, 647-664
  Frewer, M., Oberlack, M., Günther, S.
  
• (2008). More clarity on the concept of material frame-indifference in classical continuum mechanics. Acta Mechanica, 202, 213-246
  Frewer, M.
  
• (2009). Proper invariant turbulence modelling within one-point statistics. J. Fluid Mech., 639, 37-64
  Frewer, M.