The corona factorization property and the Cuntz semigroup in the classification of C*-algebras
Final Report Abstract
Meine Forschung beschäftigt sich mit der Klassifizierung von C*-Algebren. Was sind diese C*-Algebren? Eine C*-Algebra ist eine Menge mit einer mathematischen Struktur. Man kann Elemente in der Menge ’addieren’, miteinander ’multiplizieren’, und Elemente der Menge mit Zahlen ’multiplizieren’, wobei man mathematisch konkretisieren muss, was man unter Addition und Multiplikation versteht. Dazu gibt es eine *-Operation auf der Menge, daher der Stern in C*-Algebra. Am besten betrachten wir hierfür ein Beispiel. Die Menge der komplexen Zahlen ist eine C*-Algebra, wobei man wie gewohnt addiert und multipliziert. Die *-Operation ist die komplexe Konjugation. Oder man nehme seinen liebsten geometrischen Raum und nenne ihn X: Der Raum X kann zum Beispiel eine Linie sein, oder ein Kreis, oder ein Ball Die Menge aller stetigen Funktionen auf X bilden nun wie folgt eine C*-Algebra: Ein Element unserer Menge ist solche eine stetige Funktion f, was bedeutet, dass jedem Punkt x in X auf eine stetige Weise (d.h. ohne Sprünge) eine Zahl f(x) zugeordnet wird. Man addiert Funktionen punktweise, das heisst, die Funktion f +g ordnet dem Punkt x die Zahl f(x)+g(x) zu. (f(x) und g(x) sind Zahlen, und wir wissen, wie wir diese addieren). Genauso bilden wir die Multiplikation von zwei Funktionen punktweise. (Stetig heisst auf Englisch continuous, daher das C in C*-Algebra.) Wozu braucht man diese C*-Algebren? Ein wichtiges Resultat mit einem netten, trickreichen Beweis, besagt, dass jede C*-Algebra strukturgleich ist zu einer Menge an Operatoren auf einem Hilbertraum. Dies mag wie eine unzufriedenstellende Antwort klingen, bis man einem bewusst wird, dass Operatoren auf Hilberträumen die Sprache der erfolgreichen Quantenmechanik ist. Was bedeutet nun Klassifizierung? Man möchte zusätzliche Strukturen von C*-Algebren ausfindig machen und mit deren Hilfe die C*-Algebren in verschiedene Klassen sortieren. Wenn dann in der Quantenmechanik solch eine C*-Algebra auf natürliche Weise auftaucht, möchte man effizient erkennen können, um was für eine C*-Algebra es sich handelt und welche zusätzlichen mathematischen Strukturen sie aufweist, um diese in der weiterführenden Theorie ausnutzen zu können. Auch die Idee der Klassifizierung möchten wir anhand eines Beispiels erklären. Wir haben oben gesehen, dass die Menge aller stetigen Funktionen auf einem geometrischen Raum X eine C*-Algebra bildet. Verschiedene geometrische Räume X geben verschiedene C*-Algebren. Ein naheliegendes Unterscheidungsmerkmal ist die Dimension des Raumes X. Diese unterscheidet, z.B., zwischen der C*-Algebra aller stetigen Funktionen auf einem Kreis und der C*-Algebra aller stetigen Funktionen auf einem Ball. Andererseits unterscheidet die Dimension nicht zwischen den C*-Algebren von Funktionen auf Kreis und Linie, denn-beide unterliegenden Räume sind eindimensional. Dennoch sind die C*-Algebren unterschiedlich, da die unterliegenden Räume unterschiedliche geometrische Eigenschaften haben. Lange nicht jede C*-Algebra besteht aus Funktionen auf einem Raum. Um einem Dimensionsbegriff auf einer beliebigen C*-Algebra einen Sinn zu geben, muss man die Bestimmung der Dimension so abstrahieren, dass man ihn auf eine beliebige C*-Algebra anwenden kann. (Die Dimension sollte nur mit Hilfe der oben beschriebenen Strukturen einer C*-Algebra, also Addition, Multiplikation und *-Operation, beschrieben werden.) Eine dieser möglichen Abstraktionen ist der sogenannte reelle Rank. Die Resultate meines Projektes beziehen sich auf die weitergehende Klassifikation der generellen C*-Algebren mit reellem Rank Null. Im obigen Beispiel entspricht das den stetigen Funktionen auf einem nulldimensionalen Raum X (d.h., X ist so was wie eine Anzahl an Punkten.) Eine wichtige Vermutung besagt, dass in diesen C*-Algebren mit reellem Rank null, die Elemente, welche a = a2 = a_ erfüllen, entweder alle in einem gewissen Sinne endlich, oder alle unendlich sind. (D.h., es gibt keine C*-Algebra die sowohl endliche als auch unendliche Elemente a = a2 = a_ hat.) Ich war in der Lage diese Frage auf eine andere, natiirliche Frage zu reduzieren, was einen Schritt für das weitergehende strukturelle Verständnis der Rank Null C*-Algebren bedeutet.
Publications
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Geometric structure of dimension functions of certain continuous fields Journal of Functional Analysis 266 (2014), pp. 2403–2423
R. Antoine, J. Bosa, F. Perera, H. Petzka
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Infinite multiplier projections and dichotomy of C*-algebras. Journal of the Ramanujan Mathematical Society, Volume 30, Issue 2, June 2015 pp. 179–197
H. Petzka
