Geometric methods in the p-adic local Langlands program

• Applicant: Professor Dr. Tobias Schmidt
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2013 to 2015
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 244486025

• Final Report Year: 2016

Final Report Abstract

Während meiner Förderperiode arbeitete ich an drei mathematischen Themen: arithmetische D-Moduln, p-adische Darstellungstheorie und Geometrie von modularen Hecke-Algebren. Gewisse Projekte wurden dabei in Zusammenarbeit mit meinen Kollaborateuren Christine Huyghe (Universität Straßburg), Deepam Patel (Purdue University) und Matthias Strauch (Indiana University) durchgeführt. Der klassische Lokalisierungssatz von Beilinson-Bernstein bzw. Brylinski-Kashiwara stellt einen Zusammenhang dar zwischen Darstellungen einer reduktiven komplexen Lie-Algebra und gewissen Differentialgleichungen über ihrer Fahnenvarietät. Das Hauptergebnis meiner Forschungen ist ein globales arithmetisches Analogon dieses Satzes, d.h. eine geometrische Beschreibung der Darstellungstheorie einer p-adischen Liegruppe durch equivariante arithmetische D-Moduln auf der rigid-analytischen Fahnenvarietät. Hierbei stellt die Konstruktion der Kategorie solcher D-Moduln auf der generischen Faser das zentrale technische Problem dar. Im Fall der Gruppe GL(2) konnten wir als erste konkrete Anwendung zeigen, dass die deRham-Sequenz der ersten Drinfeld-Überlagerung der p-adischen oberen Halbebene aus zulässigen Darstellungen besteht. p-adische Darstellungen einer gegebenen p-adischen Liegruppe erlauben eine gute homologische Dimensionstheorie. Wir konnten die Dimensionen innerhalb vieler Serien von lokalanalytischen Darstellungen explizit berechnen, so zum Beispiel Hauptreihendarstellungen, Steinbergdarstellungen oder Darstellungen, die von equivarianten Bündeln auf p-adisch symmetrischen Räumen herkommen. Wir konnten ferner zeigen, dass die mod p K-Theorie affiner Fahnenvarietäten eine Aktion der mod p Iwahori-Hecke-Algebra mittels klassischer Demazure-Operatoren erlabt. Die entstehende Darstellung ist, wie im Kazhdan-Lusztig-Fall von komplexen Koeffizienten, isomorph zur regulären Darstellung der Hecke-Algebra.

Publications

• Arithmetic differential operators on a semistable model of P1
  Tobias Schmidt, D. Patel, M. Strauch
  
• D-modules arithmétiques, distributions et localisation
  Tobias Schmidt, C. Huyghe
  
• Integral models of P1 and distribution algebras for GLp2q, Münster Journal of Mathematics 7 (2014), 241–271
  Tobias Schmidt, D. Patel, M. Strauch
  
• Locally analytic representations of GLp2, Lq via semistable models of P1
  Tobias Schmidt, D. Patel, M. Strauch
  
• D-affinity of formal models of flag varieties
  Tobias Schmidt, C. Huyghe, D. Patel und M. Strauch
  
• Dimensions of some locally analytic representations, Representation Theory 20 (2016), 14–38
  Tobias Schmidt, M. Strauch
  
• Hecke algebras and affine flag varieties in characteristic p. Journal of Pure and Applied Algebra Volume 220, Issue 9, September 2016, Pages 3233-3247
  Tobias Schmidt
  
• D-modules arithmétiques sur la variété de drapeaux. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), ISSN (Online) 1435-5345, ISSN (Print) 0075-4102
  Tobias Schmidt, C. Huyghe