Spektralmultiplikatoren auf nilpotenten Lieschen Gruppen und homogenen Räumen

• Antragsteller: Dr. Alessio Martini
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 246262499

Für ein System stark kommutierender, selbst-adjungierter Operatoren über einem L^2-Raum wird durch Spektralintegration ein Funktionalkalkül definiert, wobei beschränkte Borelfunktionen L^2-beschränkten Operatoren entsprechen. Für die L^p-Beschränktheit solcher Operatoren hingegen ist es wesentlich schwieriger, eine entsprechende Charakterisierung mittels definierender Funktionen, die Spektralmultiplikatoren genannt werden, anzugeben. In diesen Zusammenhang fallen einige Problemstellungen und Resultate der harmonischen Analysis, die auf verschiedenen Techniken (z.B. Calderón-Zygmund Theorie für singuläre Integraloperatoren) beruhren und ihre Anwendung auch bei partiellen Differentialgleichungen finden. In diesem Projekt wollen wir uns vor allem auf den Fall konzentrieren, dass das System durch gruppeninvariante Differentialoperatoren auf einer nilpotenten Lie-Gruppe gegeben ist. Obwohl ziemlich allgemeine Sätze vorhanden sind, die hinreichende Bedingungen für die L^p-Beschränktheit mittels Glätte des Multiplikators geben, wurden nur in wenigen Fälle scharfe Ergebnisse bewiesen, die eine detaillierte Kenntnis der darunterliegenden algebraischen Struktur erfordern und ein nicht-triviales Zusammenspiel zwischen der euklidischen und der subriemannschen geometrischen Strukture aufzeigen. Kürzlich wurde eine neue Methode entwickelt, um den Fall eines homogenen sub-Laplace-Operators auf einer zweistufigen Gruppe zu behandeln. Ziel des Projektes ist es, diese neue Methode zu erweitern und scharfe Ergebnisse für breitere Klassen von Gruppen und Operatoren, als auch für Systeme kommutierender Operatoren, zu erzielen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen