Spektraltheorie von Differentialoperatoren Optimaler Fischfang

• Antragsteller: Professor Dr. Horst Behncke
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung in 2013
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 246371334

Projekt: Spektraltheorie von Differentialoperatoren Optimaler Fischfang Spektraltheorie von Differentialoperatoren In den vergangenen Jahren haben Professor D.B. Hinton und ich insgesamt 8 Arbeiten zur Spektraltheorie von Differentialoperatoren höherer Ordnung verfasst, z.B. [B,H 2010, 2011]. In diesen Arbeiten wird unter sehr allgemeinen Bedingungen gezeigt, dass die Spektren bei milden Regularitätsannahmen absolut stetig sind. Von Sturm Liouville Opertoren weiß man, dass diese Annahmen fast optimal sind. Diese Untersuchungen verwenden asymptotische Integration sowie die Methode der M-Matrix, um das Spektrum zu rekonstruieren. Kürzlich haben Brown, Evans und Plum die M-Matrix für nicht notwendig selbstadjungierte Probleme analysiert, wobei die Methode der Weyl-Kreise zentral benutzt wurde. Schon einfache Beispiele bei Operatoren und konstante Koeffizienten zeigen, dass dieses Verfahren für die Spektraltheorie wenig geeignet ist. D.B. Hinton und ich wollen daher die M-Matrix durch ein Verfahren bestimmen, das auf die Weyl-Kreise verzichtet. Darüber hinaus soll, über [BEP] hinausgehend, die M-Matrix verwandt werden, um den Spektraltypus zu bestimmen. Für Hamilton Systeme mit fast konstanten Koeffizienten scheint dieser Ansatz erfolgversprechend zu sein, erfordert allerdings noch eine genauere Analyse des charakteristischen Polynoms. Die Methode der M-Matrix geht typischerweise von einem regulären Endpunkt aus. Viele Probleme der mathematischen Physik aber, führen zu Problemen mit zwei singulären Endpunkten - Coulomb- oder Bessel-Singularität bei 0 und rechter Endpunkt im Unendlichen. Die Standardmethode dieses Problem zu behandeln ist es, einen regulären Zwischenpunkt c 2 (0,1) einzuführen und die allgmeine Lösung aus den Teilproblemen zu synthetisieren. Dabei kann es zur Verdoppelung der Multiplizitäten des Spektrums kommen [B.H. 2010]. Dies ist bei Problemen auf ganz R wohl bekannt. Hat jedoch das Problem auf (0, c] nur diskretes Spektrum, so ist zu erwarten, dass dies nicht mehr der Fall ist. Allerdings wird in diesem Fall die M-Matrix nicht mehr zur Nevanlinna Klasse gehören. Fragestellungen dieses Typs sind allerdingsnoch offen und sollen gesondert analysiert werden.Optimaler FischfangVor einigen Jahren hielt ich an der Universität von Tennessee einen Vortrag über optimalen Fischfang unter Berücksichtigung der Altersstruktur bzw. Maschenweite der Fangnetze. Dies führte zu einer gemeinsamen Arbeit mit Prof. S. Lenhart und Dr. S. Ding, die zurzeit noch fortgeführt wird. Am Beispiel verschiedener Kabeljau Populationen sollen die Parameter und die Stabilität eines nachhaltigen optimalen Gleichgewichts bestimmt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: USA
• Beteiligte Personen: Professor Dr. Don B. Hinton; Professorin Dr. Suzanne Lenhart