Harmonische Analysis auf affinen G-Varietäten
Final Report Abstract
Das vorliegende Forschungsvorhaben hatte die Untersuchung von nicht-notwendig transitiven Gruppenwirkungen auf affinen Varietäten oder Mannigfaltigkeiten und die Entwicklung einer entsprechenden Darstellungs-, Spektral- und Kohomologietheorie zum Ziel. Während die harmonische Analysis auf homogenen Räumen und die Spektral- und Kohomologietheorie einerseits, sowie andererseits das Studium algebraischer und glatter Gruppenwirkungen weit entwickelt sind, ist die Darstellungs- und Kohomolo-gietheorie einer affinen Varietät oder Mannigfaltigkeit, auf welcher eine Gruppe nicht notwendig transitiv wirkt, noch wenig untersucht worden, und die Spektraleigenschaften invarianter Operatoren auf solchen Räumen sind weitestgehend unbekannt. Die hiermit verbundenen Fragestellungen, sowie allgemein die Untersuchung singulärer Situationen in der harmonischen Analysis waren Gegenstand des vorliegenden Projektes und reichen von Differentialgeometrie, Operator- und Spektraltheorie bis hin zu algebraischer Geometrie und Zahlentheorie. Im Laufe des Projektes konnten einerseits äquivariante Asympotiken in singulären Situationen mittels Auflösung von Singularitäten erzielt werden, welche die Beschreibung der Verteilung des Spektrums eines invarianten elliptischen Operators, eines über 30 Jahren offenen Problems, sowie die Herleitung entsprechender Wärmeasymptotiken und semiklassischer Asymptotiken gestatteten. Besagte äquivariante Asymptotiken führten desweiteren innerhalb der äquivarianten Kohomologie zu neuartigen Residuenformeln auf Kotangentialbündeln. Andererseits konnte das singuläre Verhalten von Faltungsoperatoren auf wunderbaren Varietäten mikrolokal charakterisiert werden, was zur Definition entsprechender regularisierter Spuren und zur Aufstellung von Fixpunktformeln führte. Dies konnte für eine zukünftige harmonische Analysis auf sphärischen Varietäten relevant werden. Schließlich wurde das Spektrum invarianter Differentialoperatoren auf lokal-symmetrischen Räumen in speziellen Situationen näher untersucht. So wurde das diskrete Spektrum automorpher Formen für die orthogonale Split-Gruppe beschrieben und das Resonanzspektrum von Schottky-Flächen mittels verallgemeinerter dynamischer Zetafunktionen charakterisiert.
Publications
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