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Splines komplexer Ordnung, fraktionelle Operatoren und Anwendungen in der Signal- und Bildverarbeitung

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung von 2013 bis 2018
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 246954628
 
Erstellungsjahr 2018

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Die Schoenberg-Splines haben in einer großen Breite mathematischer Gebiete Einzug gefunden. Sie sind mit ihren Parametern (Ordnung und Knotenmenge) flexibel auf die Aufgabenstellungen anpassbar und aufgrund ihrer simplen Form, wie kompaktem Träger, Partition der Eins, einfache Rekursionsformel, etc. leicht implementierbar - alles Eigenschaften, die für eine erfolgreiche Anwendung unerlässlich sind. Zusätzlich erleichtern sie, da sie stückweise Polynome sind, die Interpretation der numerischen Ergebnisse. In letzter Zeit wurden fraktionelle und komplexe B-Splines definiert, die aufgrund zusätzlicher Parameter noch weitaus anpassungsfähiger sind: Der kontinuierliche Ordnungsparameter erlaubt die genaue Justierung auf die Regularität des Problems, der komplexe Grad hingegen erlaubt die Extraktion von Phase und Amplitude, da er eine näherungsweise “single band”-Analyse erlaubt. In unserer Forschungsarbeit haben wir eine Reihe neuer Aspekte für fraktionelle und komplexe Splines hergeleitet: 1. Konstruktion von Frames aus fraktionellen und komplexen Pseudo-Splines. Für ganzzahlige Ordnungen erklären sie bekanntermaßen den Zusammenhang zwischen Splines und Daubechies-Skalierungsfunktionen. Über das Unitary Extension Principle haben wir die Lücken zwischen den ganzzahligen Ordnungen mit fraktionellen Ordnungen auffüllen können. 2. Bei Frames macht traditionell die Berechnung der Frame-Schranken, der Operatornormen für Analyse und Synthese, große Arbeit. Deshalb finden straffe Frames, also Frames, bei denen die beiden Schranken übereinstimmen, viele Anwendungen. Wir zeigten: Über Ridges können in beliebigen Sobolev-Räumen eindimensionale straffe shiftinvariante Frames auf straffe n-dimensionale Frames mit bekannter Frame-Schranke geliften werden. 3. Entwicklung von Cone-, Hex-, quaternionischen und exponentiellen Splines fraktioneller und komplexer Ordnung. Damit liegen flexible Multiskalen-Familien für weitere Geometrien und Signal-Modelle vor. Beziehungen einiger der o.g. Funktionenfamilien zu speziellen Funktionen konnten hergestellt werden. 4. Eine in der Literatur behauptete Verallgemeinerung von Fourier-Reihen mit Hilfe von Mittag-Leffler-Funktionen haben wir leider widerlegt. Derartige Reihen konvergieren nur für konstante Funktionen. Die Lp-Stetigkeit im kommutativen Diagramm der Fourier-Transformation für allgemeine Funktionen exponentiellen Typs haben wir vollständig bewiesen. Der zweite große Themenkomplex in unserer Forschungsarbeit betraf die Krümmungsdetektion in digitalen Bildern. 1. Wir bewiesen die Mehrskalenkonvergenzordung des Maximal Digital Circular Arc-Krümmungsschätzers, entwickelten eine gewichtete Variante, und ein Verfahren über Mehrskalen-Spline-Approximation, die beide nahe Singularitaäten stabile Ergebnisse liefern. 2. Über die Iteration mit dem Schoenberg-Operator der Spline-Approxiation konnten wir ein größeres Schema beweisen: Das Approximationsverhalten einer ganzen Klasse von linearen Operatoren und untere Abschätzungen für die Güte der Approximation. Dieses Ergebnis besagt, wie gut die Approximation höchstens sein kann und hilft, die numerischen Verfahren zu beurteilen. 3. Entwicklung parabolischer Integraltransformationen, parabolischer Curvelets und Taylorlets, letztere eine Erweiterung der Shearlets um weitere Terme der Taylor-Approximation, die über das Abklingverhalten der Koeffizienten die lokale Krümmung im digitalen Bild charakterisieren.

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