Splines of complex order, fractional operators and applications to signal and image processing

• Applicants: Professorin Dr. Brigitte Forster-Heinlein; Privatdozent Peter Massopust, Ph.D.
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2013 to 2018
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 246954628

• Final Report Year: 2018

Final Report Abstract

Die Schoenberg-Splines haben in einer großen Breite mathematischer Gebiete Einzug gefunden. Sie sind mit ihren Parametern (Ordnung und Knotenmenge) flexibel auf die Aufgabenstellungen anpassbar und aufgrund ihrer simplen Form, wie kompaktem Träger, Partition der Eins, einfache Rekursionsformel, etc. leicht implementierbar - alles Eigenschaften, die für eine erfolgreiche Anwendung unerlässlich sind. Zusätzlich erleichtern sie, da sie stückweise Polynome sind, die Interpretation der numerischen Ergebnisse. In letzter Zeit wurden fraktionelle und komplexe B-Splines definiert, die aufgrund zusätzlicher Parameter noch weitaus anpassungsfähiger sind: Der kontinuierliche Ordnungsparameter erlaubt die genaue Justierung auf die Regularität des Problems, der komplexe Grad hingegen erlaubt die Extraktion von Phase und Amplitude, da er eine näherungsweise “single band”-Analyse erlaubt. In unserer Forschungsarbeit haben wir eine Reihe neuer Aspekte für fraktionelle und komplexe Splines hergeleitet: 1. Konstruktion von Frames aus fraktionellen und komplexen Pseudo-Splines. Für ganzzahlige Ordnungen erklären sie bekanntermaßen den Zusammenhang zwischen Splines und Daubechies-Skalierungsfunktionen. Über das Unitary Extension Principle haben wir die Lücken zwischen den ganzzahligen Ordnungen mit fraktionellen Ordnungen auffüllen können. 2. Bei Frames macht traditionell die Berechnung der Frame-Schranken, der Operatornormen für Analyse und Synthese, große Arbeit. Deshalb finden straffe Frames, also Frames, bei denen die beiden Schranken übereinstimmen, viele Anwendungen. Wir zeigten: Über Ridges können in beliebigen Sobolev-Räumen eindimensionale straffe shiftinvariante Frames auf straffe n-dimensionale Frames mit bekannter Frame-Schranke geliften werden. 3. Entwicklung von Cone-, Hex-, quaternionischen und exponentiellen Splines fraktioneller und komplexer Ordnung. Damit liegen flexible Multiskalen-Familien für weitere Geometrien und Signal-Modelle vor. Beziehungen einiger der o.g. Funktionenfamilien zu speziellen Funktionen konnten hergestellt werden. 4. Eine in der Literatur behauptete Verallgemeinerung von Fourier-Reihen mit Hilfe von Mittag-Leffler-Funktionen haben wir leider widerlegt. Derartige Reihen konvergieren nur für konstante Funktionen. Die Lp-Stetigkeit im kommutativen Diagramm der Fourier-Transformation für allgemeine Funktionen exponentiellen Typs haben wir vollständig bewiesen. Der zweite große Themenkomplex in unserer Forschungsarbeit betraf die Krümmungsdetektion in digitalen Bildern. 1. Wir bewiesen die Mehrskalenkonvergenzordung des Maximal Digital Circular Arc-Krümmungsschätzers, entwickelten eine gewichtete Variante, und ein Verfahren über Mehrskalen-Spline-Approximation, die beide nahe Singularitaäten stabile Ergebnisse liefern. 2. Über die Iteration mit dem Schoenberg-Operator der Spline-Approxiation konnten wir ein größeres Schema beweisen: Das Approximationsverhalten einer ganzen Klasse von linearen Operatoren und untere Abschätzungen für die Güte der Approximation. Dieses Ergebnis besagt, wie gut die Approximation höchstens sein kann und hilft, die numerischen Verfahren zu beurteilen. 3. Entwicklung parabolischer Integraltransformationen, parabolischer Curvelets und Taylorlets, letztere eine Erweiterung der Shearlets um weitere Terme der Taylor-Approximation, die über das Abklingverhalten der Koeffizienten die lokale Krümmung im digitalen Bild charakterisieren.

Publications

• Exponential splines of complex order. Contemporary Mathematics, Vol. 676, 2014, pp. 87–106
  Peter Massopust
  
• Five good reasons for complex-valued transforms in image processing. In: G. Schmeißer and A. Zayed (Eds.): New Perspectives on Approximation and Sampling Theory – Festschrift in honor of Paul Butzer’s 85th birthday. Birkhäuser. 2014
  Brigitte Forster
  
• Fractional operators, Dirichlet averages, and splines. In: G. Schmeißer and A. Zayed (Eds.): New Perspectives on Approximation and Sampling Theory – Festschrift in honor of Paul Butzer’s 85th birthday. Birkhäuser. 2014, pp. 399–422
  Peter Massopust
  
• Sampling Theory in Signal and Image Processing: Special Issue SampTA 2013. Proceedings of the International Conference on Sampling Theory and its Applications held at Jacobs-University Bremen, Germany, Vol. 13, Nos. 1–4, 2014
  Peter Massopust, Götz Pfander, and Holger Rauhut
  
• Directional time-frequency analysis via continuous frames. Bull. Aust. Math. Soc. 92, 2015, pp. 268–281
  Ole Christensen, Brigitte Forster and Peter Massopust
  
• Entire functions in generalized Bernstein spaces and their growth behavior. In: G.E. Pfander (ed.): “Sampling Theory, a Renaissance”, Birkhäuser, 2015, pp. 307–329
  Brigitte Forster and Gunter Semmler
  
• On the invalidity of Fourier series expansions of fractional order. Fract. Calc. Appl. Anal., Vol. 15, No 6, 2015, 1507–1517
  Peter Massopust and Ahmed Zayed
  
• A lower bound for the Schoenberg operator. Journal of Complexity, Vol. 32 (1), February 2016, pp. 81–91
  Johannes Nagler, Paula Cerejeiras, and Brigitte Forster
  
• Fractional and complex pseudo-aplines and the construction of Parseval frames. Applied Mathematics and Computation, Vol. 314, 2017, pp. 12–24
  Ole Christensen, Brigitte Forster, and Peter Massopust
  
• Fractional cone splines and hex splines. Rocky Mountain J. Math. Vol. 47 (5) (2017), pp. 1655–1691
  Peter Massopust and Patrick Van Fleet
  
• Multigrid convergence for the MDCA-curvature estimator. Journal of Mathematical Imaging and Vision, Vol. 57, 2017, pp. 423–438
  Andreas Schindele, Peter Massopust, and Brigitte Forster
  
• Quaternionic B-splines. J. Approx. Th., Vol. 224, 2017, pp. 43–65
  Jeff Hogan and Peter Massopust