Summen von Quadraten in der konvexen algebraischen Geometrie

• Antragsteller: Professor Dr. Claus Scheiderer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 253289397

Mit Hilfe von linearer Programmierung kann man lineare Polynome in effektiver Weise über Polyeder optimieren. Diese Technik ist in ihren Grundzügen seit den 1940er Jahren bekannt und hat unzählige Anwendungen. Seit den 1980er Jahren weiß man, daß man auch semidefinite Programme in effektiver Weise lösen kann. Diese bilden eine sehr weitgehende Verallgemeinerung von linearen Programmen und haben viele wichtige Anwendungen, z.B. in Ingenieurwissenschaften. In einem semidefiniten Programm optimiert man eine lineare Zielfunktion über die positiv semidefiniten Matrizen in einer linearen Schar symmetrischer Matrizen. Die Frage, welche Probleme man als semidefinite Programme formulieren kann, ist von grundlegendem Interesse und führt auf die Frage nach den semidefinit darstellbaren Mengen. Man sieht leicht, daß jede solche konvex und semialgebraisch ist. Umgekehrt kennt man viele wichtige Klassen konvexer semialgebraischer Mengen, die semidefinit darstellbar sind. Viele Jahre lang hat man vermutet, daß sich tatsächlich alle konvexen semialgebraischen Mengen semidefinit darstellen lassen (sogenannte Helton-Nie Vermutung). Diese Vermutung wurde kürzlich vom Projektleiter widerlegt, und mit Hilfe einer neuen Charakterisierung wurden Klassen expliziter Gegenbeispiele konstruiert. Die gefundene Charakterisierung basiert auf Darstellungen positiver Polynome durch Quadratsummen, ist jedoch in konkreten Fällen oft schwer entscheidbar. Daher braucht man flexiblere Kriterien, die die Entscheidung wichtiger offener Fälle leichter machen. Außerdem ergibt sich durch die Widerlegung der Helton-Nie Vermutung eine Vielzahl neuer offener Fragen. Eines der Hauptziele dieses Projekts ist es, solche flexibleren Kriterien für semidefinite Darstellbarkeit zu isolieren und zumindest einige der offenen Fragen zu beantworten. Eine andere theoretisch und praktisch wichtige Frage zielt auf die Komplexität von semidefiniten Darstellungen gegebener Mengen. Hierzu ist im allgemeinen wenig bekannt, im Fall von Konvexhüllen von Kurven scheinen jedoch konkrete Ergebnisse möglich. Hierin besteht ein weiteres wichtiges Ziel des Projekts. Auch dabei stehen Quadratsummendarstellungen positiver Polynome im Mittelpunkt, und es geht darum, die Grade der Summanden nach oben zu beschränken. Ein drittes Teilprojekt befaßt sich mit der Gesamtheit aller Quadratsummendarstellungen eines gegebenen Polynoms. Diese bilden einen kompakten konvexen Körper, über den noch wenig bekannt ist. Mit neuen Techniken sollen hier deutliche Fortschritte erzielt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen